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2000 AMC 12 Problema 24

Intenta el Problema 24 del 2000 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2000 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

24.

Si los arcos circulares ACAC y BCBC tienen centros en BB y A,A, respectivamente, entonces existe un círculo tangente tanto al arco ACAC como al arco BC,BC, y a AB‾.\overline{AB}. Si la longitud del arco BCBC es 12,12, ¿cuál es la circunferencia del círculo?
If circular arcs ACAC and BCBC have centers at BB and A,A, respectively, then there exists a circle tangent to both arc ACAC and arc BC,BC, and to AB‾.\overline{AB}. If the length of arc BCBC is 12,12, then what is the circumference of the circle?
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Respuesta: D
Conceptos:potencia de un puntocircunferencias tangentesarco
Nivel de dificultad: 2390
Pista pequeña:
Ambos arcos tienen radio AB,AB, y CC está a distancia ABAB tanto de AA como de B,B, así que △ABC\triangle ABC es equilátero.
Both arcs have radius AB,AB, and CC is at distance ABAB from both AA and B,B, so △ABC\triangle ABC is equilateral
Pista grande:
Usa la potencia de un punto en AA con AD=12ABAD = \tfrac12 AB para hallar el radio del círculo pequeño r=38ABr = \tfrac38 AB.
Use Power of a Point at AA with AD=12ABAD = \tfrac12 AB to find the small circle’s radius r=38ABr = \tfrac38 AB
Solución:
Cada arco tiene radio AB,AB, y CC está a distancia ABAB tanto de AA como de B,B, así que △ABC\triangle ABC es equilátero. Por lo tanto, el arco BCBC subtiende 60∘60^\circ de un círculo de radio AB,AB, cuya circunferencia completa es 6⋅12=72.6 \cdot 12 = 72.
Sea el círculo pequeño de radio rr que toca AB‾\overline{AB} en su punto medio D,D, donde AD=12AB.AD = \tfrac12 AB. Por la potencia de un punto, AD2=AB(AB−2r),AD^2 = AB(AB - 2r), así que AB24=AB2−2r AB, \frac{AB^2}{4} = AB^2 - 2r\,AB, dando 2r=34AB,2r = \tfrac34 AB, y por lo tanto r=38AB.r = \tfrac38 AB.
Las circunferencias están en la razón de los radios, así que la circunferencia del círculo pequeño es 38⋅72=27\tfrac38 \cdot 72 = 27.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Each arc has radius AB,AB, and CC is at distance ABAB from both AA and B,B, so △ABC\triangle ABC is equilateral. Thus arc BCBC subtends 60∘60^\circ of a circle of radius AB,AB, whose full circumference is 6⋅12=72.6 \cdot 12 = 72.
Let the small circle have radius rr and touch AB‾\overline{AB} at its midpoint D,D, where AD=12AB.AD = \tfrac12 AB. By Power of a Point, AD2=AB(AB−2r),AD^2 = AB(AB - 2r), so AB24=AB2−2r AB, \frac{AB^2}{4} = AB^2 - 2r\,AB, giving 2r=34AB,2r = \tfrac34 AB, hence r=38AB.r = \tfrac38 AB.
The circumferences are in the ratio of the radii, so the small circle’s circumference is 38⋅72=27.\tfrac38 \cdot 72 = 27.
Thus, the correct answer is D.
Problema 23#23
Examen completo
Problema 25#25

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