Question

Si los arcos circulares $AC$ y $BC$ tienen centros en $B$ y $A,$ respectivamente, entonces existe un círculo tangente tanto al arco $AC$ como al arco $BC,$ y a $\overline{AB}.$ Si la longitud del arco $BC$ es $12,$ ¿cuál es la circunferencia del círculo?

If circular arcs $AC$ and $BC$ have centers at $B$ and $A,$ respectively, then there exists a circle tangent to both arc $AC$ and arc $BC,$ and to $\overline{AB}.$ If the length of arc $BC$ is $12,$ then what is the circumference of the circle?

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Solución:

Cada arco tiene radio $AB,$ y $C$ está a distancia $AB$ tanto de $A$ como de $B,$ así que $\triangle ABC$ es equilátero. Por lo tanto, el arco $BC$ subtiende $60^\circ$ de un círculo de radio $AB,$ cuya circunferencia completa es $6 \cdot 12 = 72.$

Sea el círculo pequeño de radio $r$ que toca $\overline{AB}$ en su punto medio $D,$ donde $AD = \tfrac12 AB.$ Por la potencia de un punto, $AD^2 = AB(AB - 2r),$ así que $\frac{AB^2}{4} = AB^2 - 2r\,AB,$ dando $2r = \tfrac34 AB,$ y por lo tanto $r = \tfrac38 AB.$

Las circunferencias están en la razón de los radios, así que la circunferencia del círculo pequeño es $\tfrac38 \cdot 72 = 27$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Each arc has radius $AB,$ and $C$ is at distance $AB$ from both $A$ and $B,$ so $\triangle ABC$ is equilateral. Thus arc $BC$ subtends $60^\circ$ of a circle of radius $AB,$ whose full circumference is $6 \cdot 12 = 72.$

Let the small circle have radius $r$ and touch $\overline{AB}$ at its midpoint $D,$ where $AD = \tfrac12 AB.$ By Power of a Point, $AD^2 = AB(AB - 2r),$ so $\frac{AB^2}{4} = AB^2 - 2r\,AB,$ giving $2r = \tfrac34 AB,$ hence $r = \tfrac38 AB.$

The circumferences are in the ratio of the radii, so the small circle's circumference is $\tfrac38 \cdot 72 = 27.$

Thus, the correct answer is D.

2000 AMC 12 Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años