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2003 AMC 12A Problema 24

Intenta el Problema 24 del 2003 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2003 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

24.

Si a≥b>1,a \ge b \gt 1, ¿cuál es el mayor valor posible de log⁡a(ab)+log⁡b(ba)\log_a(\frac{a}{b}) + \log_b(\frac{b}{a})?

If a≥b>1,a \ge b \gt 1, what is the largest possible value of log⁡a(ab)+log⁡b(ba)?\log_a(\frac{a}{b}) + \log_b(\frac{b}{a})?

−2-2

00

22

33

44

Respuesta: B
Conceptos:logaritmoDesigualdad MA-MG
Nivel de dificultad: 2170
Pista pequeña:

Simplifica a 2−log⁡ab−log⁡ba2-\log_a b-\log_b a.

Simplify to 2−log⁡ab−log⁡ba2-\log_a b-\log_b a

Pista grande:

Con c=log⁡ab>0,c=\log_a b\gt0, usa c+1c≥2c+\dfrac1c\ge2.

With c=log⁡ab>0,c=\log_a b\gt0, use c+1c≥2c+\dfrac1c\ge2

Solución:

Desarrolla: log⁡aab+log⁡bba=(1−log⁡ab)+(1−log⁡ba)=2−(log⁡ab+log⁡ba). \begin{aligned} &\log_a\dfrac ab+\log_b\dfrac ba \\ &\quad {}=(1-\log_a b)+(1-\log_b a) \\ &\quad {}=2-\left(\log_a b+\log_b a\right). \end{aligned}

Sea c=log⁡ab>0.c=\log_a b\gt0. Como c+1c≥2c+\dfrac1c\ge2 por AM-GM, la expresión es a lo sumo 0.0.

La igualdad se cumple cuando c=1,c=1, es decir, cuando a=b,a=b, así que el mayor valor es 0.0.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Expand: log⁡aab+log⁡bba=(1−log⁡ab)+(1−log⁡ba)=2−(log⁡ab+log⁡ba). \begin{aligned} &\log_a\dfrac ab+\log_b\dfrac ba \\ &\quad {}=(1-\log_a b)+(1-\log_b a) \\ &\quad {}=2-\left(\log_a b+\log_b a\right). \end{aligned}

Let c=log⁡ab>0.c=\log_a b\gt0. Since c+1c≥2c+\dfrac1c\ge2 by AM-GM, the expression is at most 0.0.

Equality holds when c=1,c=1, that is, when a=b,a=b, so the largest value is 0.0.

Thus, the correct answer is B.

Problema 23#23
Examen completo
Problema 25#25

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