Question

Si $a \ge b \gt 1,$ ¿cuál es el mayor valor posible de $\log_a(a/b) + \log_b(b/a)$ ?

If $a \ge b \gt 1,$ what is the largest possible value of $\log_a(a/b) + \log_b(b/a)?$

$-2$

$0$

$2$

$3$

$4$

Solución:

Desarrolla: $\begin{aligned} &\log_a\dfrac ab+\log_b\dfrac ba \\ &\quad {}=(1-\log_a b)+(1-\log_b a) \\ &\quad {}=2-\left(\log_a b+\log_b a\right). \end{aligned}$

Sea $c=\log_a b\gt0.$ Como $c+\dfrac1c\ge2$ por AM-GM, la expresión es a lo sumo $0.$

La igualdad se cumple cuando $c=1,$ es decir, cuando $a=b,$ así que el mayor valor es $0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Expand: $\begin{aligned} &\log_a\dfrac ab+\log_b\dfrac ba \\ &\quad {}=(1-\log_a b)+(1-\log_b a) \\ &\quad {}=2-\left(\log_a b+\log_b a\right). \end{aligned}$

Let $c=\log_a b\gt0.$ Since $c+\dfrac1c\ge2$ by AM-GM, the expression is at most $0.$

Equality holds when $c=1,$ that is, when $a=b,$ so the largest value is $0.$

Thus, the correct answer is B.

2003 AMC 12A Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años