Question

Sea $\omega=-\dfrac12+\dfrac12 i\sqrt3.$ Sea $S$ el conjunto de todos los puntos del plano complejo de la forma $a+b\omega+c\omega^2,$ donde $0\le a\le1,\ 0\le b\le1,$ y $0\le c\le1.$ ¿Cuál es el área de $S$ ?

Let $\omega=-\dfrac12+\dfrac12 i\sqrt3.$ Let $S$ denote all points in the complex plane of the form $a+b\omega+c\omega^2,$ where $0\le a\le1,\ 0\le b\le1,$ and $0\le c\le1.$ What is the area of $S?$

$\dfrac12\sqrt3$

$\dfrac34\sqrt3$

$\dfrac32\sqrt3$

$\dfrac12\pi\sqrt3$

$\pi$

Solución:

Cuando $a,b,c$ recorren $[0,1],$ el conjunto $S$ es la suma de Minkowski de los tres segmentos unitarios a lo largo de $v_1=1=(1,0),$ $\ v_2=\omega=\left(-\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}{2}\right),$ $\ v_3=\omega^2=\left(-\dfrac12,-\dfrac{\sqrt3}{2}\right).$

Este es un zonógono cuya área es la suma de las magnitudes de los productos cruz sobre los pares. Cada par da $|v_i\times v_j|=\dfrac{\sqrt3}{2}.$

Por lo tanto el área es $3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{3\sqrt3}{2}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

As $a,b,c$ range over $[0,1],$ the set $S$ is the Minkowski sum of the three unit segments along $v_1=1=(1,0),$ $\ v_2=\omega=\left(-\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}{2}\right),$ $\ v_3=\omega^2=\left(-\dfrac12,-\dfrac{\sqrt3}{2}\right).$

This is a zonogon whose area is the sum of the cross-product magnitudes over pairs. Each pair gives $|v_i\times v_j|=\dfrac{\sqrt3}{2}.$

Therefore the area is $3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{3\sqrt3}{2}.$

Thus, C is the correct answer.

2019 AMC 12B Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años