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2019 AMC 12B Problema 24

Intenta el Problema 24 del 2019 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2019 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

24.

Sea ω=−12+12i3.\omega=-\dfrac12+\dfrac12 i\sqrt3. Sea SS el conjunto de todos los puntos del plano complejo de la forma a+bω+cω2,a+b\omega+c\omega^2, donde 0≤a≤1,0\le a\le1, 0≤b≤1,0\le b\le1, y 0≤c≤1.0\le c\le1. ¿Cuál es el área de SS?

Let ω=−12+12i3.\omega=-\dfrac12+\dfrac12 i\sqrt3. Let SS denote all points in the complex plane of the form a+bω+cω2,a+b\omega+c\omega^2, where 0≤a≤1,0\le a\le1, 0≤b≤1,0\le b\le1, and 0≤c≤1.0\le c\le1. What is the area of S?S?

123\dfrac12\sqrt3

343\dfrac34\sqrt3

323\dfrac32\sqrt3

12π3\dfrac12\pi\sqrt3

π\pi

Respuesta: C
Conceptos:número complejovectorárea
Nivel de dificultad: 2390
Pista pequeña:

SS es la suma de Minkowski de tres segmentos a lo largo de 1, ω, ω21,\ \omega,\ \omega^2

SS is the Minkowski sum of three segments along 1, ω, ω21,\ \omega,\ \omega^2

Pista grande:

El área de un zonógono es igual a ∑i<j∣vi×vj∣\displaystyle\sum_{i\lt j}\bigl|v_i\times v_j\bigr| sobre los vectores generadores

A zonogon’s area equals ∑i<j∣vi×vj∣\displaystyle\sum_{i\lt j}\bigl|v_i\times v_j\bigr| over the generating vectors

Solución:

Cuando a,b,ca,b,c recorren [0,1],[0,1], el conjunto SS es la suma de Minkowski de los tres segmentos unitarios a lo largo de v1=1=(1,0),v_1=1=(1,0),  v2=ω=(−12,32),\ v_2=\omega=\left(-\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}{2}\right),  v3=ω2=(−12,−32).\ v_3=\omega^2=\left(-\dfrac12,-\dfrac{\sqrt3}{2}\right).

Este es un zonógono cuya área es la suma de las magnitudes de los productos cruz sobre los pares. Cada par da ∣vi×vj∣=32.|v_i\times v_j|=\dfrac{\sqrt3}{2}.

Por lo tanto el área es 3⋅32=332.3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{3\sqrt3}{2}.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

As a,b,ca,b,c range over [0,1],[0,1], the set SS is the Minkowski sum of the three unit segments along v1=1=(1,0),v_1=1=(1,0),  v2=ω=(−12,32),\ v_2=\omega=\left(-\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}{2}\right),  v3=ω2=(−12,−32).\ v_3=\omega^2=\left(-\dfrac12,-\dfrac{\sqrt3}{2}\right).

This is a zonogon whose area is the sum of the cross-product magnitudes over pairs. Each pair gives ∣vi×vj∣=32.|v_i\times v_j|=\dfrac{\sqrt3}{2}.

Therefore the area is 3⋅32=332.3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{3\sqrt3}{2}.

Thus, C is the correct answer.

Problema 23#23
Examen completo
Problema 25#25

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