Question

¿Cuántas sucesiones de $0$ y $1$ de longitud $19$ hay que comiencen con $0,$ terminen con $0,$ no contengan dos $0$ consecutivos y no contengan tres $1$ consecutivos?

How many sequences of $0$ s and $1$ s of length $19$ are there that begin with a $0,$ end with a $0,$ contain no two consecutive $0$ s, and contain no three consecutive $1$ s?

$55$

$60$

$65$

$70$

$75$

Solución:

No hay dos $0$ adyacentes, así que los $0$ están separados por bloques de $1$ , cada uno de tamaño $1$ o $2$ (nunca $3$ ). Si hay $k$ ceros, hay $k-1$ de esos bloques que suman $19-k$ unos.

El número de bloques de tamaño $2$ es $(19-k)-(k-1)=20-2k,$ que debe cumplir $0\le20-2k\le k-1,$ es decir $7\le k\le10.$

Sumar $\binom{k-1}{20-2k}$ sobre $k=7,8,9,10$ da $\binom66+\binom74+\binom82+\binom90$ $=1+35+28+1$ $=65.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

No two $0$ s are adjacent, so the $0$ s are separated by blocks of $1$ s, each of size $1$ or $2$ (never $3$ ). If there are $k$ zeros, there are $k-1$ such blocks summing to $19-k$ ones.

The number of size- $2$ blocks is $(19-k)-(k-1)=20-2k,$ which must satisfy $0\le20-2k\le k-1,$ i.e. $7\le k\le10.$

Summing $\binom{k-1}{20-2k}$ over $k=7,8,9,10$ gives $\binom66+\binom74+\binom82+\binom90$ $=1+35+28+1$ $=65.$

Thus, C is the correct answer.

2019 AMC 12B Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años