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2021 AMC 12A Fall Problema 23

Intenta el Problema 23 del 2021 AMC 12A Fall a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2021 AMC 12A Fall, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

23.

Un polinomio cuadrático con coeficientes reales y coeficiente principal 11 se llama irrespetuoso si la ecuación p(p(x))=0p(p(x)) = 0 se satisface por exactamente tres números reales. Entre todos los polinomios cuadráticos irrespetuosos, hay un único polinomio p~(x)\tilde{p}(x) para el cual la suma de las raíces es máxima. ¿Cuánto vale p~(1)\tilde{p}(1)?

A quadratic polynomial with real coefficients and leading coefficient 11 is called disrespectful if the equation p(p(x))=0p(p(x)) = 0 is satisfied by exactly three real numbers. Among all the disrespectful quadratic polynomials, there is a unique such polynomial p~(x)\tilde{p}(x) for which the sum of the roots is maximized. What is p~(1)?\tilde{p}(1)?

516\dfrac{5}{16}

12\dfrac{1}{2}

58\dfrac{5}{8}

11

98\dfrac{9}{8}

Respuesta: A
Conceptos:polinomiocuadráticaoptimización
Nivel de dificultad: 2380
Pista pequeña:

Si pp tiene raíces r,s,r, s, entonces p(p(x))=0p(p(x)) = 0 significa p(x)=rp(x) = r o p(x)=s;p(x) = s; tener exactamente tres raíces requiere que una de estas tenga una raíz doble

If pp has roots r,s,r, s, then p(p(x))=0p(p(x)) = 0 means p(x)=rp(x) = r or p(x)=s;p(x) = s; exactly three roots requires one of these to have a double root

Pista grande:

Con (r−s)2+4s=0(r - s)^2 + 4s = 0 y tomando u=r−s,u = r - s, maximiza r+s=−u22+ur + s = -\tfrac{u^2}{2} + u.

With (r−s)2+4s=0(r - s)^2 + 4s = 0 and letting u=r−s,u = r - s, maximize r+s=−u22+ur + s = -\tfrac{u^2}{2} + u

Solución:

Sea pp con raíces rr y s.s. Entonces p(p(x))=0p(p(x)) = 0 se divide en p(x)=rp(x) = r y p(x)=s,p(x) = s, con discriminantes (r−s)2+4r(r - s)^2 + 4r y (r−s)2+4s.(r - s)^2 + 4s. Tener exactamente tres raíces reales significa que un discriminante es 00 y el otro es positivo.

Tomemos (r−s)2+4s=0(r - s)^2 + 4s = 0 y sea u=r−s.u = r - s. Entonces s=−u24s = -\tfrac{u^2}{4} y el otro discriminante es 4u,4u, así que u>0.u>0. Además, r+s=−u22+u,r+s=-\tfrac{u^2}{2}+u, que alcanza su máximo en u=1,u=1, dando r=34r=\tfrac34 y s=−14.s=-\tfrac14.

Por tanto, p~(x)=(x−34)(x+14),\tilde{p}(x) = \left(x - \tfrac34\right)\left(x + \tfrac14\right), y p~(1)=14⋅54=516.\tilde{p}(1) = \tfrac14\cdot\tfrac54 = \tfrac{5}{16}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let pp have roots rr and s.s. Then p(p(x))=0p(p(x)) = 0 splits into p(x)=rp(x) = r and p(x)=s,p(x) = s, with discriminants (r−s)2+4r(r - s)^2 + 4r and (r−s)2+4s.(r - s)^2 + 4s. Exactly three real roots means one discriminant is 00 and the other positive.

Take (r−s)2+4s=0(r - s)^2 + 4s = 0 and set u=r−s.u = r - s. Then s=−u24s = -\tfrac{u^2}{4} and the other discriminant is 4u,4u, so u>0.u>0. Also r+s=−u22+u,r+s=-\tfrac{u^2}{2}+u, maximized at u=1,u=1, giving r=34r=\tfrac34 and s=−14.s=-\tfrac14.

So p~(x)=(x−34)(x+14),\tilde{p}(x) = \left(x - \tfrac34\right)\left(x + \tfrac14\right), and p~(1)=14⋅54=516.\tilde{p}(1) = \tfrac14\cdot\tfrac54 = \tfrac{5}{16}.

Thus, the correct answer is A.

Problema 22#22
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Problema 24#24

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