Question

El $\triangle ABC$ isósceles tiene un ángulo recto en $C.$ El punto $P$ está dentro del $\triangle ABC,$ de modo que $PA = 11,$ $PB = 7,$ y $PC = 6.$ Los catetos $\overline{AC}$ y $\overline{BC}$ tienen longitud $s = \sqrt{a + b\sqrt{2}},$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos. ¿Cuánto vale $a + b$ ?

Isosceles $\triangle ABC$ has a right angle at $C.$ Point $P$ is inside $\triangle ABC,$ such that $PA = 11,$ $PB = 7,$ and $PC = 6.$ Legs $\overline{AC}$ and $\overline{BC}$ have length $s = \sqrt{a + b\sqrt{2}},$ where $a$ and $b$ are positive integers. What is $a + b?$

$85$

$91$

$108$

$121$

$127$

Respuesta: E

Conceptos:transformación ley de los cosenos Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Rota el $\triangle ABC$ $90^\circ$ alrededor de $C$ de modo que $A$ se transforme en $B$ .

Rotate $\triangle ABC$ by $90^\circ$ about $C$ so that $A$ maps onto $B$

Pista grande:

La imagen de $P$ forma un triángulo rectángulo isósceles con $P,$ lo que fija $\angle BPC$ .

The image of $P$ forms an isosceles right triangle with $P,$ which pins down $\angle BPC$

Solución:

Rota el $\triangle ABC$ $90^\circ$ alrededor de $C,$ enviando $A$ a $B$ y $P$ a $P'.$ Entonces $CP' = CP = 6$ y $\angle PCP' = 90^\circ,$ así que $\triangle PCP'$ es un triángulo rectángulo isósceles con $PP' = 6\sqrt2.$

Además $BP' = AP = 11.$ Como $(6\sqrt2)^2 + 7^2 = 72 + 49$ $= 121 = 11^2,$ el triángulo $BPP'$ tiene un ángulo recto en $P.$ Por lo tanto, $\angle BPC = \angle BPP'$ $+ \angle P'PC = 90^\circ$ $+ 45^\circ = 135^\circ.$

Por la ley de cosenos en $\triangle BPC,$ $\begin{aligned} &BC^2 = 6^2 + 7^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 6 \cdot 7 \cos 135^\circ \\ &\quad = 85 + 42\sqrt2. \end{aligned}$

Así que $s^2 = 85 + 42\sqrt2,$ lo que da $a = 85,$ $b = 42,$ y por lo tanto $a + b = 127.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Rotate $\triangle ABC$ by $90^\circ$ about $C,$ sending $A$ to $B$ and $P$ to $P'.$ Then $CP' = CP = 6$ and $\angle PCP' = 90^\circ,$ so $\triangle PCP'$ is an isosceles right triangle with $PP' = 6\sqrt2.$

Also $BP' = AP = 11.$ Since $(6\sqrt2)^2 + 7^2 = 72 + 49$ $= 121 = 11^2,$ triangle $BPP'$ has a right angle at $P.$ Hence $\angle BPC = \angle BPP'$ $+ \angle P'PC = 90^\circ$ $+ 45^\circ = 135^\circ.$

By the Law of Cosines in $\triangle BPC,$ $\begin{aligned} &BC^2 = 6^2 + 7^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 6 \cdot 7 \cos 135^\circ \\ &\quad = 85 + 42\sqrt2. \end{aligned}$

So $s^2 = 85 + 42\sqrt2,$ giving $a = 85,$ $b = 42,$ and $a + b = 127.$

Thus, the correct answer is E.

2006 AMC 12B Problema 23

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años