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2006 AMC 12B Problema 23

Intenta el Problema 23 del 2006 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2006 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

23.

El △ABC\triangle ABC isósceles tiene un ángulo recto en C.C. El punto PP está dentro del △ABC,\triangle ABC, de modo que PA=11,PA = 11, PB=7,PB = 7, y PC=6.PC = 6. Los catetos AC‾\overline{AC} y BC‾\overline{BC} tienen longitud s=a+b2,s = \sqrt{a + b\sqrt{2}}, donde aa y bb son enteros positivos. ¿Cuánto vale a+ba + b?
Isosceles △ABC\triangle ABC has a right angle at C.C. Point PP is inside △ABC,\triangle ABC, such that PA=11,PA = 11, PB=7,PB = 7, and PC=6.PC = 6. Legs AC‾\overline{AC} and BC‾\overline{BC} have length s=a+b2,s = \sqrt{a + b\sqrt{2}}, where aa and bb are positive integers. What is a+b?a + b?
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127127
Respuesta: E
Conceptos:transformaciónley de los cosenosTeorema de Pitágoras
Nivel de dificultad: 2390
Pista pequeña:
Rota el △ABC\triangle ABC 90∘90^\circ alrededor de CC de modo que AA se transforme en BB.
Rotate △ABC\triangle ABC by 90∘90^\circ about CC so that AA maps onto BB
Pista grande:
La imagen de PP forma un triángulo rectángulo isósceles con P,P, lo que fija ∠BPC\angle BPC.
The image of PP forms an isosceles right triangle with P,P, which pins down ∠BPC\angle BPC
Solución:
Rota el △ABC\triangle ABC 90∘90^\circ alrededor de C,C, enviando AA a BB y PP a P′.P'. Entonces CP′=CP=6CP' = CP = 6 y ∠PCP′=90∘,\angle PCP' = 90^\circ, así que △PCP′\triangle PCP' es un triángulo rectángulo isósceles con PP′=62.PP' = 6\sqrt2.
Además BP′=AP=11.BP' = AP = 11. Como (62)2+72=72+49(6\sqrt2)^2 + 7^2 = 72 + 49 =121=112,= 121 = 11^2, el triángulo BPP′BPP' tiene un ángulo recto en P.P. Por lo tanto, ∠BPC=∠BPP′\angle BPC = \angle BPP' +∠P′PC=90∘+ \angle P'PC = 90^\circ +45∘=135∘.+ 45^\circ = 135^\circ.
Por la ley de cosenos en △BPC,\triangle BPC, BC2=62+72−2⋅6⋅7cos⁡135∘=85+422. \begin{aligned} &BC^2 = 6^2 + 7^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 6 \cdot 7 \cos 135^\circ \\ &\quad = 85 + 42\sqrt2. \end{aligned}
Así que s2=85+422,s^2 = 85 + 42\sqrt2, lo que da a=85,a = 85, b=42,b = 42, y por lo tanto a+b=127.a + b = 127.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Rotate △ABC\triangle ABC by 90∘90^\circ about C,C, sending AA to BB and PP to P′.P'. Then CP′=CP=6CP' = CP = 6 and ∠PCP′=90∘,\angle PCP' = 90^\circ, so △PCP′\triangle PCP' is an isosceles right triangle with PP′=62.PP' = 6\sqrt2.
Also BP′=AP=11.BP' = AP = 11. Since (62)2+72=72+49(6\sqrt2)^2 + 7^2 = 72 + 49 =121=112,= 121 = 11^2, triangle BPP′BPP' has a right angle at P.P. Hence ∠BPC=∠BPP′\angle BPC = \angle BPP' +∠P′PC=90∘+ \angle P'PC = 90^\circ +45∘=135∘.+ 45^\circ = 135^\circ.
By the Law of Cosines in △BPC,\triangle BPC, BC2=62+72−2⋅6⋅7cos⁡135∘=85+422. \begin{aligned} &BC^2 = 6^2 + 7^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 6 \cdot 7 \cos 135^\circ \\ &\quad = 85 + 42\sqrt2. \end{aligned}
So s2=85+422,s^2 = 85 + 42\sqrt2, giving a=85,a = 85, b=42,b = 42, and a+b=127.a + b = 127.
Thus, the correct answer is E.
Problema 22#22
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Problema 24#24

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