Question

Dada una sucesión finita $S = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ de $n$ números reales, sea $A(S)$ la sucesión $\small \left(\frac{a_1 + a_2}{2}, \frac{a_2 + a_3}{2}, \ldots, \frac{a_{n-1} + a_n}{2}\right)$ de $n - 1$ números reales. Se define $A^1(S) = A(S)$ y, para cada entero $m,$ $2 \le m \le n - 1,$ se define $A^m(S) = A(A^{m-1}(S)).$ Supón que $x \gt 0,$ y sea $S = (1, x, x^2, \ldots, x^{100}).$ Si $A^{100}(S) = (\frac{1}{2^{50}}),$ entonces ¿cuánto vale $x$ ?

Given a finite sequence $S = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ of $n$ real numbers, let $A(S)$ be the sequence $\small \left(\frac{a_1 + a_2}{2}, \frac{a_2 + a_3}{2}, \ldots, \frac{a_{n-1} + a_n}{2}\right)$ of $n - 1$ real numbers. Define $A^1(S) = A(S)$ and, for each integer $m,$ $2 \le m \le n - 1,$ define $A^m(S) = A(A^{m-1}(S)).$ Suppose $x \gt 0,$ and let $S = (1, x, x^2, \ldots, x^{100}).$ If $A^{100}(S) = (\frac{1}{2^{50}}),$ then what is $x?$

$1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\sqrt{2} - 1$

$\dfrac{1}{2}$

$2 - \sqrt{2}$

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Respuesta: B

Conceptos:teorema del binomio recursión

Nivel de dificultad: 2400

Pista pequeña:

Aplicar $A$ repetidamente introduce coeficientes binomiales; $A^{100}(S)$ tiene un único término.

Applying $A$ repeatedly introduces binomial coefficients; $A^{100}(S)$ has a single term

Pista grande:

Ese término es $\dfrac{(1 + x)^{100}}{2^{100}}$ .

That term is $\dfrac{(1 + x)^{100}}{2^{100}}$

Solución:

Cada aplicación de $A$ promedia términos adyacentes, así que después de $100$ pasos el único término restante es $\begin{gathered} \frac{1}{2^{100}} \sum_{m=0}^{100} \binom{100}{m} x^m \\ = \frac{(1 + x)^{100}}{2^{100}}. \end{gathered}$

Igualando esto a $\dfrac{1}{2^{50}}$ se obtiene $(1 + x)^{100} = 2^{50},$ así que $1 + x = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}.$ Como $x \gt 0,$ obtenemos $x = \sqrt{2} - 1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each application of $A$ averages adjacent terms, so after $100$ steps the single remaining term is $\begin{gathered} \frac{1}{2^{100}} \sum_{m=0}^{100} \binom{100}{m} x^m \\ = \frac{(1 + x)^{100}}{2^{100}}. \end{gathered}$

Setting this equal to $\dfrac{1}{2^{50}}$ gives $(1 + x)^{100} = 2^{50},$ so $1 + x = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}.$ Since $x \gt 0,$ we get $x = \sqrt{2} - 1.$

Thus, the correct answer is B.

2006 AMC 12A Problema 23

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2400

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años