Question

Ajay está de pie en el punto $A$ cerca de Pontianak, Indonesia, a $0^\circ$ de latitud y $110^\circ$ de longitud E. Billy está de pie en el punto $B$ cerca de Big Baldy Mountain, Idaho, EE. UU., a $45^\circ$ N de latitud y $115^\circ$ O de longitud. Supongamos que la Tierra es una esfera perfecta con centro $C.$ ¿Cuál es la medida en grados del $\angle ACB$ ?

Ajay is standing at point $A$ near Pontianak, Indonesia, $0^\circ$ latitude and $110^\circ$ E longitude. Billy is standing at point $B$ near Big Baldy Mountain, Idaho, USA, $45^\circ$ N latitude and $115^\circ$ W longitude. Assume that Earth is a perfect sphere with center $C.$ What is the degree measure of $\angle ACB?$

$105$

$112\tfrac{1}{2}$

$120$

$135$

$150$

Respuesta: C

Conceptos:Geometría 3D esfera vector

Nivel de dificultad: 2400

Pista pequeña:

La diferencia de longitud es $360^\circ-(110^\circ+115^\circ)=135^\circ$ .

The longitude difference is $360^\circ-(110^\circ+115^\circ)=135^\circ$

Pista grande:

Coloca ambos puntos sobre una esfera unitaria y calcula el producto punto de sus vectores de posición.

Put both points on a unit sphere and take the dot product of their position vectors

Solución:

Las longitudes difieren en $360^\circ-(110^\circ+115^\circ)=135^\circ,$ y $B$ está a latitud $45^\circ$ N. Coloca $A=(1,0,0)$ sobre la esfera unitaria.

Entonces $B=\tiny\left(\cos45^\circ\cos135^\circ,\ \cos45^\circ\sin135^\circ,\ \sin45^\circ\right)$ $=\left(-\tfrac12,\tfrac12,\tfrac{\sqrt2}{2}\right).$ El producto punto es $A\cdot B=-\tfrac12,$ así que $\cos\angle ACB=-\tfrac12$ y $\angle ACB=120^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The longitudes differ by $360^\circ-(110^\circ+115^\circ)=135^\circ,$ and $B$ is at latitude $45^\circ$ N. Place $A=(1,0,0)$ on the unit sphere.

Then $B=\tiny\left(\cos45^\circ\cos135^\circ,\ \cos45^\circ\sin135^\circ,\ \sin45^\circ\right)$ $=\left(-\tfrac12,\tfrac12,\tfrac{\sqrt2}{2}\right).$ The dot product is $A\cdot B=-\tfrac12,$ so $\cos\angle ACB=-\tfrac12$ and $\angle ACB=120^\circ.$

Thus, the correct answer is C.

2018 AMC 12B Problema 23

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2400

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años