Question

Llamamos justo a un entero positivo si ningún dígito se usa más de una vez, no tiene $0$ s, y ningún dígito es adyacente a dos dígitos mayores. Por ejemplo, $196,$ $23,$ y $12463$ son justos, pero $1546,$ $320,$ y $34321$ no lo son. ¿Cuántos enteros positivos justos hay?

Call a positive integer fair if no digit is used more than once, it has no $0$ s, and no digit is adjacent to two greater digits. For example, $196,$ $23,$ and $12463$ are fair, but $1546,$ $320,$ and $34321$ are not fair. How many fair positive integers are there?

$511$

$2584$

$9841$

$17711$

$19682$

Respuesta: C

Conceptos:arreglos con restricciones teorema del binomio

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Un número justo no tiene ningún dígito interior menor que ambos vecinos

A fair number has no interior digit smaller than both of its neighbors

Pista grande:

Construye una disposición válida de un conjunto de dígitos elegido colocando los dígitos de mayor a menor, cada uno en algún extremo: $2^{n-1}$ maneras para $n$ dígitos

Build a valid arrangement of a chosen digit set by placing digits largest-to-smallest, each at either end: $2^{n-1}$ ways for $n$ digits

Solución:

Los dígitos son distintos y se toman de $\{1, \ldots, 9\},$ y “ningún dígito adyacente a dos dígitos mayores” significa que ningún dígito interior es menor que ambos vecinos.

Para un conjunto fijo de $n$ dígitos, construye la disposición insertando los dígitos de mayor a menor; cada nuevo dígito (más pequeño) debe ir a uno de los dos extremos, dando $2^{n-1}$ disposiciones válidas.

Sumando sobre todos los subconjuntos de dígitos no vacíos, $\begin{gathered} \sum_{n=1}^{9}\binom{9}{n}2^{n-1} \\ = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{9}\binom{9}{n}2^{n} \\ = \frac{3^9 - 1}{2} = \frac{19682}{2} = 9841. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The digits are distinct and drawn from $\{1, \ldots, 9\},$ and “no digit adjacent to two greater digits” means no interior digit is smaller than both neighbors.

For a fixed set of $n$ digits, build the arrangement by inserting digits from largest to smallest; each new (smaller) digit must go to one of the two ends, giving $2^{n-1}$ valid arrangements.

Summing over all nonempty digit subsets, $\begin{gathered} \sum_{n=1}^{9}\binom{9}{n}2^{n-1} \\ = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{9}\binom{9}{n}2^{n} \\ = \frac{3^9 - 1}{2} = \frac{19682}{2} = 9841. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is C.

2025 AMC 12A Problema 23

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años