Question

Un insecto se desplaza por el plano de coordenadas, moviéndose solo a lo largo de las rectas paralelas al eje $x$ o al eje $y$ . Sean $A=(-3, 2)$ y $B=(3, -2).$ Considera todos los posibles recorridos del insecto de $A$ a $B$ de longitud a lo sumo $20.$ ¿Cuántos puntos de coordenadas enteras están en al menos uno de estos recorridos?

A bug travels in the coordinate plane, moving only along the lines that are parallel to the $x$ -axis or $y$ -axis. Let $A=(-3, 2)$ and $B=(3, -2).$ Consider all possible paths of the bug from $A$ to $B$ of length at most $20.$ How many points with integer coordinates lie on at least one of these paths?

$161$

$185$

$195$

$227$

$255$

Solución:

Un punto de red $X=(x,y)$ está en algún recorrido exactamente cuando $\begin{aligned} d&=|x-3|+|x+3| \\ &\quad {}+|y-2|+|y+2|\le20. \end{aligned}$ Esta expresión no cambia cuando $x\to-x$ o $y\to-y,$ así que contamos los puntos con $x\ge0,$ $y\ge0,$ multiplicamos por $4,$ y corregimos por los ejes.

Al dividir en las cuatro regiones determinadas por si $x\le3$ y $y\le2$ se obtienen $12+20+15+10=57$ puntos en el primer cuadrante (incluidos los puntos sobre los ejes). Por simetría el total es $4\cdot57-2\cdot15-3=195.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A lattice point $X=(x,y)$ lies on some path exactly when $\begin{aligned} d&=|x-3|+|x+3| \\ &\quad {}+|y-2|+|y+2|\le20. \end{aligned}$ This expression is unchanged when $x\to-x$ or $y\to-y,$ so we count points with $x\ge0,$ $y\ge0,$ multiply by $4,$ and correct for the axes.

Splitting into the four regions determined by whether $x\le3$ and $y\le2$ gives $12+20+15+10=57$ points in the first quadrant (including axis points). By symmetry the total is $4\cdot57-2\cdot15-3=195.$

Thus, the correct answer is C.

2011 AMC 12B Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años