Question

Un insecto se desplaza por el plano de coordenadas, moviéndose solo a lo largo de las rectas paralelas al eje $x$ o al eje $y$ . Sean $A=(-3, 2)$ y $B=(3, -2).$ Considera todos los posibles recorridos del insecto de $A$ a $B$ de longitud a lo sumo $20.$ ¿Cuántos puntos de coordenadas enteras están en al menos uno de estos recorridos?

A bug travels in the coordinate plane, moving only along the lines that are parallel to the $x$ -axis or $y$ -axis. Let $A=(-3, 2)$ and $B=(3, -2).$ Consider all possible paths of the bug from $A$ to $B$ of length at most $20.$ How many points with integer coordinates lie on at least one of these paths?

$161$

$185$

$195$

$227$

$255$

Respuesta: C

Conceptos:punto reticular análisis por casos simetría

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Un punto $X$ está en uno de esos recorridos si y solo si sus distancias taxicab cumplen $d(A,X)+d(X,B)\le20$ .

A point $X$ lies on such a path iff its taxicab distances satisfy $d(A,X)+d(X,B)\le20$

Pista grande:

Esto es $|x-3|+|x+3|$ $+|y-2|+|y+2|\le20;$ cuenta usando la simetría respecto a los ejes.

This is $|x-3|+|x+3|$ $+|y-2|+|y+2|\le20;$ count by symmetry across the axes

Solución:

Un punto de red $X=(x,y)$ está en algún recorrido exactamente cuando $\begin{aligned} d&=|x-3|+|x+3| \\ &\quad {}+|y-2|+|y+2|\le20. \end{aligned}$ Esta expresión no cambia cuando $x\to-x$ o $y\to-y,$ así que contamos los puntos con $x\ge0,$ $y\ge0,$ multiplicamos por $4,$ y corregimos por los ejes.

Si $0\le x\le3$ y $0\le y\le2,$ sirven los $4\cdot3=12$ puntos. Si $0\le x\le3$ y $y\ge3,$ entonces $y\le7,$ lo que da $4\cdot5=20$ puntos. Si $x\ge4$ y $0\le y\le2,$ entonces $x\le8,$ lo que da $5\cdot3=15$ puntos. Por último, para $x\ge4$ y $y\ge3,$ la condición es $x+y\le10,$ lo que da $4+3+2+1=10$ puntos. Así, hay $57$ puntos en el primer cuadrante, incluidos $15$ sobre los ejes no negativos. Por simetría, el total es $4\cdot57-2\cdot15-3=195.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A lattice point $X=(x,y)$ lies on some path exactly when $\begin{aligned} d&=|x-3|+|x+3| \\ &\quad {}+|y-2|+|y+2|\le20. \end{aligned}$ This expression is unchanged when $x\to-x$ or $y\to-y,$ so we count points with $x\ge0,$ $y\ge0,$ multiply by $4,$ and correct for the axes.

If $0\le x\le3$ and $0\le y\le2,$ all $4\cdot3=12$ points work. If $0\le x\le3$ and $y\ge3,$ then $y\le7,$ giving $4\cdot5=20$ points. If $x\ge4$ and $0\le y\le2,$ then $x\le8,$ giving $5\cdot3=15$ points. Finally, for $x\ge4$ and $y\ge3,$ the condition is $x+y\le10,$ giving $4+3+2+1=10$ points. Thus there are $57$ in the first quadrant, including $15$ on the nonnegative axes. By symmetry the total is $4\cdot57-2\cdot15-3=195.$

Thus, the correct answer is C.

2011 AMC 12B Problema 23

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años