Question

El número $2017$ es primo. Sea $S = \sum_{k=0}^{62} \binom{2014}{k}.$ ¿Cuál es el residuo cuando $S$ se divide entre $2017$ ?

The number $2017$ is prime. Let $S = \sum_{k=0}^{62} \binom{2014}{k}.$ What is the remainder when $S$ is divided by $2017?$

$32$

$684$

$1024$

$1576$

$2016$

Respuesta: C

Conceptos:combinaciones aritmética modular telescópica

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Módulo $2017,$ reduce $\binom{2014}{k}$ usando $2016 \equiv -1,$ $2015 \equiv -2,$ y así sucesivamente.

Modulo $2017,$ reduce $\binom{2014}{k}$ using $2016 \equiv -1,$ $2015 \equiv -2,$ and so on

Pista grande:

Esto da $\binom{2014}{k} \equiv (-1)^k \binom{k+2}{2},$ y la suma alternada se telescopa.

This gives $\binom{2014}{k} \equiv (-1)^k \binom{k+2}{2},$ and the alternating sum telescopes

Solución:

Trabajando módulo $2017,$ la identidad $\binom{2014}{k} \cdot k! \cdot (2014-k)! = 2014!$ junto con $2016 \cdot 2015 \cdots (2015-k)$ $\equiv (-1)^k (k+2)!$ lleva a $\begin{gathered} 2\binom{2014}{k} \equiv (-1)^k \\ {}\cdot (k+2)(k+1) \pmod{2017}, \end{gathered}$ así que $\binom{2014}{k} \equiv (-1)^k \binom{k+2}{2}.$

Entonces $\begin{gathered} S \equiv \sum_{k=0}^{62} (-1)^k \binom{k+2}{2} \\ = 1 \\ {}+ \sum_{k=1}^{31}\left[\binom{2k+2}{2} - \binom{2k+1}{2}\right] \\ = 1 + \sum_{k=1}^{31}(2k+1). \end{gathered}$

La suma restante es $3 + 5 + \cdots + 63 = 1023,$ así que $S \equiv 1 + 1023$ $= 1024 \pmod{2017}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Working modulo $2017,$ the identity $\binom{2014}{k} \cdot k! \cdot (2014-k)! = 2014!$ together with $2016 \cdot 2015 \cdots (2015-k)$ $\equiv (-1)^k (k+2)!$ leads to $\begin{gathered} 2\binom{2014}{k} \equiv (-1)^k \\ {}\cdot (k+2)(k+1) \pmod{2017}, \end{gathered}$ so $\binom{2014}{k} \equiv (-1)^k \binom{k+2}{2}.$

Then $\begin{gathered} S \equiv \sum_{k=0}^{62} (-1)^k \binom{k+2}{2} \\ = 1 \\ {}+ \sum_{k=1}^{31}\left[\binom{2k+2}{2} - \binom{2k+1}{2}\right] \\ = 1 + \sum_{k=1}^{31}(2k+1). \end{gathered}$

The remaining sum is $3 + 5 + \cdots + 63 = 1023,$ so $S \equiv 1 + 1023$ $= 1024 \pmod{2017}.$

Thus, the correct answer is C.

2014 AMC 12B Problema 23

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años