Question

Sea $f(z) = \dfrac{z + a}{z + b}$ y $g(z) = f(f(z)),$ donde $a$ y $b$ son números complejos. Supongamos que $|a| = 1$ y $g(g(z)) = z$ para todo $z$ para el cual $g(g(z))$ está definido. ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor valor posible de $|b|$ ?

Let $f(z) = \dfrac{z + a}{z + b}$ and $g(z) = f(f(z)),$ where $a$ and $b$ are complex numbers. Suppose that $|a| = 1$ and $g(g(z)) = z$ for all $z$ for which $g(g(z))$ is defined. What is the difference between the largest and smallest possible values of $|b|?$

$0$

$\sqrt{2} - 1$

$\sqrt{3} - 1$

$1$

$2$

Respuesta: C

Conceptos:número complejo matriz raíces de la unidad

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Representa $f$ con la matriz $\begin{pmatrix} 1 & a \\ 1 & b \end{pmatrix};$ entonces $g(g(z)) = z$ significa que $f^4$ es la identidad

Represent $f$ by the matrix $\begin{pmatrix} 1 & a \\ 1 & b \end{pmatrix};$ then $g(g(z)) = z$ means $f^4$ is the identity

Pista grande:

El caso de orden $4$ obliga a $(\operatorname{tr})^2 = 2\det,$ lo que da $b^2 = -(1 + 2a)$

The order- $4$ case forces $(\operatorname{tr})^2 = 2\det,$ which gives $b^2 = -(1 + 2a)$

Solución:

La composición directa da $g(z)=\dfrac{Az+B}{Cz+D},$ donde $A=1+a,$ $B=a(1+b),$ $C=1+b,$ y $D=a+b^2.$

La matriz $\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}$ representa a $g.$ Para que $g\circ g$ sea la identidad, su cuadrado debe ser escalar. Al comparar las entradas fuera de la diagonal y las dos entradas diagonales, hay dos posibilidades: o bien $B=C=0$ y $A=D,$ o bien $A+D=0.$ La primera da $b=-1$ (con $a\ne-1$ ); la segunda da $b^2=-(1+2a).$

En el segundo caso, $|b|^2=|1+2a|.$ Cuando $a$ recorre el círculo unitario, $|1+2a|$ varía de $1$ a $3,$ así que $1\le|b|\le\sqrt3.$ Ambos extremos se alcanzan: tomemos $(a,b)=(-1,1)$ y $(a,b)=(1,i\sqrt3).$ El caso separado $b=-1$ también tiene $|b|=1.$ Por tanto, la diferencia pedida es $\sqrt3-1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Direct composition gives $g(z)=\dfrac{Az+B}{Cz+D},$ where $A=1+a,$ $B=a(1+b),$ $C=1+b,$ and $D=a+b^2.$

The matrix $\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}$ represents $g.$ For $g\circ g$ to be the identity, its square must be scalar. Comparing the off-diagonal entries and the two diagonal entries gives two possibilities: either $B=C=0$ and $A=D,$ or $A+D=0.$ The first gives $b=-1$ (with $a\ne-1$ ); the second gives $b^2=-(1+2a).$

In the second case, $|b|^2=|1+2a|.$ As $a$ runs around the unit circle, $|1+2a|$ ranges from $1$ to $3,$ so $1\le|b|\le\sqrt3.$ Both endpoints occur: take $(a,b)=(-1,1)$ and $(a,b)=(1,i\sqrt3).$ The separate case $b=-1$ also has $|b|=1.$ Therefore the requested difference is $\sqrt3-1.$

Thus, the correct answer is C.

2011 AMC 12A Problema 23

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años