Question

Una caja rectangular mide $a \times b \times c,$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros y $1 \le a \le b \le c.$ El volumen y el área superficial de la caja son numéricamente iguales. ¿Cuántas ternas ordenadas $(a, b, c)$ son posibles?

A rectangular box measures $a \times b \times c,$ where $a,$ $b,$ and $c$ are integers and $1 \le a \le b \le c.$ The volume and the surface area of the box are numerically equal. How many ordered triples $(a, b, c)$ are possible?

$4$

$10$

$12$

$21$

$26$

Respuesta: B

Conceptos:Ecuación diofántica factorización análisis por casos

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

La condición es $abc = 2(ab + bc + ca)$ con $1 \le a \le b \le c$ .

The condition is $abc = 2(ab + bc + ca)$ with $1 \le a \le b \le c$

Pista grande:

Muestra que $a \le 6,$ luego para cada $a$ fijo factoriza la ecuación en un producto igual a una constante

Show $a \le 6,$ then for each fixed $a$ factor the equation into a product equal to a constant

Solución:

Que el volumen y el área superficial sean numéricamente iguales significa $abc=2(ab+bc+ca).$ Al dividir entre $abc$ obtenemos $1=\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\le\frac{6}{a},$ así que $a\le6.$ Los casos $a=1$ y $a=2$ no tienen soluciones positivas. Para $a\ne2,$ sea $\begin{gathered} u=(a-2)b-2a,\\ v=(a-2)c-2a. \end{gathered}$ La ecuación se factoriza entonces como $uv=4a^2.$

Para $a=3,$ $(b-6)(c-6)=36$ da $(b,c)=(7,42),$ $(8,24),$ $(9,18),$ $(10,15),$ $(12,12).$ Para $a=4,$ $(b-4)(c-4)=16$ da $(5,20),(6,12),(8,8).$ Para $a=5,$ la congruencia de los dos factores módulo $3$ deja solo el par válido $(b,c)=(5,10),$ y para $a=6,$ $(b-3)(c-3)=9$ deja solo $(b,c)=(6,6).$ Por tanto, hay $5+3+1+1=10$ ternas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Numerically equal volume and surface area means $abc=2(ab+bc+ca).$ Dividing by $abc$ gives $1=\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\le\frac{6}{a},$ so $a\le6.$ The cases $a=1$ and $a=2$ give no positive solutions. For $a\ne2,$ set $\begin{gathered} u=(a-2)b-2a,\\ v=(a-2)c-2a. \end{gathered}$ The equation then factors as $uv=4a^2.$

For $a=3,$ $(b-6)(c-6)=36$ gives $(b,c)=(7,42),$ $(8,24),$ $(9,18),$ $(10,15),$ $(12,12).$ For $a=4,$ $(b-4)(c-4)=16$ gives $(5,20),(6,12),(8,8).$ For $a=5,$ the congruence of the two factors modulo $3$ leaves only the valid pair $(b,c)=(5,10),$ and for $a=6,$ $(b-3)(c-3)=9$ leaves only $(b,c)=(6,6).$ Thus there are $5+3+1+1=10$ triples.

Thus, the correct answer is B.

2015 AMC 12B Problema 23

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años