Question

Bernardo elige un entero positivo de tres dígitos $N$ y escribe en un pizarrón tanto su representación en base $5$ como en base $6$ . Más tarde LeRoy ve los dos números que Bernardo ha escrito. Tratando los dos números como enteros en base $10$ , los suma para obtener un entero $S.$ Por ejemplo, si $N = 749,$ Bernardo escribe los números $10{,}444$ y $3{,}245,$ y LeRoy obtiene la suma $S = 13{,}689.$ ¿Para cuántas elecciones de $N$ los dos dígitos más a la derecha de $S,$ en orden, son los mismos que los de $2N$ ?

Bernardo chooses a three-digit positive integer $N$ and writes both its base- $5$ and base- $6$ representations on a blackboard. Later LeRoy sees the two numbers Bernardo has written. Treating the two numbers as base- $10$ integers, he adds them to obtain an integer $S.$ For example, if $N = 749,$ Bernardo writes the numbers $10{,}444$ and $3{,}245,$ and LeRoy obtains the sum $S = 13{,}689.$ For how many choices of $N$ are the two rightmost digits of $S,$ in order, the same as those of $2N?$

$5$

$10$

$15$

$20$

$25$

Respuesta: E

Conceptos:base numérica aritmética modular análisis por casos

Nivel de dificultad: 2510

Pista pequeña:

Como $\mathrm{lcm}(5^2, 6^2, 10^2) = 900,$ la condición depende solo de $N \bmod 900,$ así que deja que $N$ varíe de $0$ a $899$ .

Since $\mathrm{lcm}(5^2, 6^2, 10^2) = 900,$ the condition depends only on $N \bmod 900,$ so let $N$ range from $0$ to $899$

Pista grande:

Igualar los últimos dígitos obliga a que los dígitos de las unidades en base $5$ y en base $6$ sean iguales; trabajando módulo $100$ se determinan los pares permitidos de los dos últimos dígitos.

Matching last digits forces the base- $5$ and base- $6$ units digits equal; working modulo $100$ pins down the allowed last-two-digit pairs

Solución:

Como $\mathrm{lcm}(25, 36, 100) = 900,$ la condición sobre $N$ depende solo de $N \bmod 900,$ así que consideramos $0 \le N \le 899.$ Sean $a_1, a_0$ los dos últimos dígitos en base $5$ , y sean $b_1,b_0$ los dos últimos dígitos en base $6.$ Módulo $10,$ la igualdad deseada y $N\equiv a_0\pmod5$ obligan a que $a_0=b_0.$ El teorema chino del resto, aplicado módulo $25$ y $36$ , da entonces $\begin{aligned} N&\equiv180a_1+150b_1 \\ &\quad {}+a_0\pmod{900}. \end{aligned}$ Al comparar el doble de este residuo módulo $100$ con el número decimal $10(a_1+b_1)+a_0+b_0$ , se obtiene $5a_1\equiv b_1\pmod{10}.$ Por tanto, los pares válidos son exactamente $(0,0),(2,0),(4,0),(1,5),(3,5).$ Cada uno se combina con $5$ valores de $a_0$ $(0 \le a_0 \le 4),$ lo que da $25$ valores de $N.$ Así, la respuesta correcta es E.

Because $\mathrm{lcm}(25, 36, 100) = 900,$ the condition on $N$ depends only on $N \bmod 900,$ so consider $0 \le N \le 899.$ Let the last two base- $5$ digits be $a_1, a_0$ and the last two base- $6$ digits be $b_1,b_0.$ Modulo $10,$ the desired equality and $N\equiv a_0\pmod5$ force $a_0=b_0.$ The Chinese Remainder Theorem applied modulo $25$ and $36$ then gives $\begin{aligned} N&\equiv180a_1+150b_1 \\ &\quad {}+a_0\pmod{900}. \end{aligned}$ Comparing twice this residue modulo $100$ with the decimal number $10(a_1+b_1)+a_0+b_0$ reduces to $5a_1\equiv b_1\pmod{10}.$ Hence the valid pairs are exactly $(0,0),(2,0),(4,0),(1,5),(3,5).$ Each combines with $5$ choices of $a_0$ $(0 \le a_0 \le 4),$ giving $25$ values of $N.$ Thus, the correct answer is E.

2013 AMC 12B Problema 23

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2510

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años