Question

Sean $m \gt 1$ y $n \gt 1$ enteros. Supón que el producto de las soluciones en $x$ de la ecuación

$\begin{aligned} &8(\log_n x)(\log_m x) - 7\log_n x \\ &\quad {}- 6\log_m x - 2013 = 0 \end{aligned}$

es el menor entero posible. ¿Cuánto vale $m + n$ ?

Let $m \gt 1$ and $n \gt 1$ be integers. Suppose that the product of the solutions for $x$ of the equation

$\begin{aligned} &8(\log_n x)(\log_m x) - 7\log_n x \\ &\quad {}- 6\log_m x - 2013 = 0 \end{aligned}$

is the smallest possible integer. What is $m + n?$

$12$

$20$

$24$

$48$

$272$

Solución:

Escribiendo $\log_n x = \tfrac{\log x}{\log n}$ y $\log_m x = \tfrac{\log x}{\log m},$ la ecuación se convierte en una cuadrática en $\log x$ cuyas raíces suman $\log(x_1 x_2)$ $= \tfrac18(7\log m + 6\log n).$ Por lo tanto $N^8 = m^7 n^6,$ donde $N = x_1 x_2.$ Para cada primo que divide a $mn,$ los exponentes $a, b$ deben satisfacer $7a + 6b \equiv 0 \pmod 8;$ minimizando el entero $N$ se obtiene $N = 16,$ alcanzado únicamente en $m = 2^2 = 4$ y $n = 2^3 = 8.$ Así que $m + n = 12.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Writing $\log_n x = \tfrac{\log x}{\log n}$ and $\log_m x = \tfrac{\log x}{\log m},$ the equation becomes a quadratic in $\log x$ whose roots sum to $\log(x_1 x_2)$ $= \tfrac18(7\log m + 6\log n).$ Hence $N^8 = m^7 n^6,$ where $N = x_1 x_2.$ For each prime dividing $mn,$ the exponents $a, b$ must satisfy $7a + 6b \equiv 0 \pmod 8;$ minimizing the integer $N$ gives $N = 16,$ achieved uniquely at $m = 2^2 = 4$ and $n = 2^3 = 8.$ So $m + n = 12.$ Thus, the correct answer is A.

2013 AMC 12B Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años