Question

Las gráficas de $y = -|x - a| + b$ y $y = |x - c| + d$ se intersecan en los puntos $(2, 5)$ y $(8, 3).$ Halla $a + c.$

The graphs of $y = -|x - a| + b$ and $y = |x - c| + d$ intersect at points $(2, 5)$ and $(8, 3).$ Find $a + c.$

$7$

$8$

$10$

$13$

$18$

Respuesta: C

Conceptos:valor absoluto geometría analítica punto medio

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

La primera gráfica alcanza su máximo en $(a, b);$ la segunda su mínimo en $(c, d)$ .

The first graph peaks at $(a, b);$ the second bottoms out at $(c, d)$

Pista grande:

Reescribe la ecuación de intersección como $|x-a|+|x-c|=b-d$ y usa la simetría.

Rewrite the intersection equation as $|x-a|+|x-c|=b-d$ and use symmetry

Solución:

En una intersección, $-|x-a|+b=|x-c|+d,$ o bien $|x-a|+|x-c|=b-d.$ Como hay dos intersecciones aisladas, estas quedan en lados opuestos del intervalo de extremos $a$ y $c.$ Las dos soluciones son simétricas respecto de $x=\tfrac{a+c}{2}.$ Sus coordenadas $x$ son $2$ y $8,$ así que $a+c=2+8=10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

At an intersection, $-|x-a|+b=|x-c|+d,$ or $|x-a|+|x-c|=b-d.$ Because there are two isolated intersections, they lie on opposite sides of the interval with endpoints $a$ and $c.$ The two solutions are symmetric about $x=\tfrac{a+c}{2}.$ Their $x$ -coordinates are $2$ and $8,$ so $a+c=2+8=10.$

Thus, the correct answer is C.

1999 AMC 12 Problema 22

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años