Question

Las gráficas de $y = -|x - a| + b$ y $y = |x - c| + d$ se intersecan en los puntos $(2, 5)$ y $(8, 3).$ Halla $a + c.$

The graphs of $y = -|x - a| + b$ and $y = |x - c| + d$ intersect at points $(2, 5)$ and $(8, 3).$ Find $a + c.$

$7$

$8$

$10$

$13$

$18$

Solución:

La primera gráfica es un ángulo recto invertido con vértice $(a, b),$ y la segunda es un ángulo recto hacia arriba con vértice $(c, d).$ Como cada una consta de dos rectas de pendiente $\pm 1,$ los cuatro puntos $(a, b), (2, 5), (c, d), (8, 3)$ son, en orden, los vértices de un rectángulo.

Las diagonales de un rectángulo comparten punto medio, así que $\dfrac{a + c}{2} = \dfrac{2 + 8}{2} = 5,$ dando $a + c = 10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The first graph is an inverted right angle with vertex $(a, b),$ and the second is an upright right angle with vertex $(c, d).$ Because each consists of two lines of slope $\pm 1,$ the four points $(a, b), (2, 5), (c, d), (8, 3)$ are the vertices of a rectangle in order.

The diagonals of a rectangle share a midpoint, so $\dfrac{a + c}{2} = \dfrac{2 + 8}{2} = 5,$ giving $a + c = 10.$

Thus, the correct answer is C.

1999 AMC 12 Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años