Question

El número $5^{867}$ está entre $2^{2013}$ y $2^{2014}.$ ¿Cuántos pares de enteros $(m,n)$ hay tales que $1\le m\le2012$ y $5^n\lt2^m\lt2^{m+2}\lt5^{n+1}?$

The number $5^{867}$ is between $2^{2013}$ and $2^{2014}.$ How many pairs of integers $(m,n)$ are there such that $1\le m\le2012$ and $5^n\lt2^m\lt2^{m+2}\lt5^{n+1}?$

$278$

$279$

$280$

$281$

$282$

Respuesta: B

Conceptos:exponente sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Entre potencias consecutivas $5^n$ y $5^{n+1}$ hay dos o tres potencias de $2$ .

Between consecutive powers $5^n$ and $5^{n+1}$ there are either two or three powers of $2$

Pista grande:

La desigualdad pide tres de esas potencias; si $d,t$ cuentan los huecos con dos y con tres potencias, entonces $d+t=867$ y $2d+3t=2013$ .

The inequality asks for three such powers; if $d,t$ count the two-power and three-power gaps, then $d+t=867$ and $2d+3t=2013$

Solución:

Como $2^2\lt5\lt2^3,$ cada intervalo $(5^n,5^{n+1})$ contiene dos o tres potencias de $2.$ La cadena $5^n\lt2^m\lt2^{m+2}\lt5^{n+1}$ se cumple exactamente cuando el intervalo contiene tres potencias consecutivas de $2,$ y entonces hay un único $m.$

Sean $d$ y $t$ las cantidades de intervalos $(5^n,5^{n+1})$ con $0\le n\le866$ que contienen dos y tres potencias de $2,$ respectivamente. Como $2^{2013}\lt5^{867}\lt2^{2014}$ hay $2013$ potencias de $2$ en total, lo que da $d+t=867$ y $2d+3t=2013.$

Resolviendo, $t=2013-2\cdot867=279.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Because $2^2\lt5\lt2^3,$ each interval $(5^n,5^{n+1})$ contains either two or three powers of $2.$ The chain $5^n\lt2^m\lt2^{m+2}\lt5^{n+1}$ holds exactly when the interval contains three consecutive powers of $2,$ and then there is a unique such $m.$

Let $d$ and $t$ be the numbers of intervals $(5^n,5^{n+1})$ for $0\le n\le866$ containing two and three powers of $2,$ respectively. Since $2^{2013}\lt5^{867}\lt2^{2014}$ there are $2013$ powers of $2$ in total, giving $d+t=867$ and $2d+3t=2013.$

Solving, $t=2013-2\cdot867=279.$

Thus, the correct answer is B.

2014 AMC 12A Problema 22

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años