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2003 AMC 12B Problema 22

Intenta el Problema 22 del 2003 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2003 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

22.

Sea ABCDABCD un rombo con AC=16AC = 16 y BD=30.BD = 30. Sea NN un punto en AB‾,\overline{AB}, y sean PP y QQ los pies de las perpendiculares desde NN a AC‾\overline{AC} y BD‾,\overline{BD}, respectivamente. ¿Cuál de las siguientes opciones se acerca más al mínimo valor posible de PQPQ?
Let ABCDABCD be a rhombus with AC=16AC = 16 and BD=30.BD = 30. Let NN be a point on AB‾,\overline{AB}, and let PP and QQ be the feet of the perpendiculars from NN to AC‾\overline{AC} and BD‾,\overline{BD}, respectively. Which of the following is closest to the minimum possible value of PQ?PQ?
6.56.5
6.756.75
77
7.257.25
7.57.5
Respuesta: C
Conceptos:romboalturaoptimización
Nivel de dificultad: 2020
Pista pequeña:
Sea OO el centro; las diagonales se cruzan en ángulo recto, así que OPNQOPNQ es un rectángulo y PQ=ONPQ = ON
Let OO be the center; the diagonals meet at right angles, so OPNQOPNQ is a rectangle and PQ=ONPQ = ON
Pista grande:
ONON es mínimo cuando NN es el pie de la altura desde OO en el triángulo rectángulo AOBAOB con catetos 88 y 1515
ONON is smallest when NN is the foot of the altitude from OO in right triangle AOBAOB with legs 88 and 1515
Solución:
Sea OO la intersección de las diagonales. Entonces el △AOB\triangle AOB es rectángulo en OO con catetos OA=8OA = 8 y OB=15.OB = 15. El cuadrilátero OPNQOPNQ tiene ángulos rectos en O,O, P,P, y Q,Q, así que es un rectángulo y PQ=ON.PQ = ON.
El mínimo de ONON es la altura desde OO hasta AB‾\overline{AB} en el △AOB.\triangle AOB. Como AB=82+152=17,AB = \sqrt{8^2 + 15^2} = 17, al igualar las dos expresiones del área se obtiene ON=OA⋅OBAB=8⋅1517=12017≈7.06. \begin{aligned} ON &= \frac{OA \cdot OB}{AB} \\ &= \frac{8 \cdot 15}{17} \\ &= \frac{120}{17} \approx 7.06. \end{aligned}
Esto es lo más cercano a 7.7.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Let OO be the intersection of the diagonals. Then △AOB\triangle AOB is right-angled at OO with legs OA=8OA = 8 and OB=15.OB = 15. Quadrilateral OPNQOPNQ has right angles at O,O, P,P, and Q,Q, so it is a rectangle and PQ=ON.PQ = ON.
The minimum of ONON is the altitude from OO to AB‾\overline{AB} in △AOB.\triangle AOB. Since AB=82+152=17,AB = \sqrt{8^2 + 15^2} = 17, equating the two area expressions gives ON=OA⋅OBAB=8⋅1517=12017≈7.06. \begin{aligned} ON &= \frac{OA \cdot OB}{AB} \\ &= \frac{8 \cdot 15}{17} \\ &= \frac{120}{17} \approx 7.06. \end{aligned}
This is closest to 7.7.
Thus, the correct answer is C.
Problema 21#21
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Problema 23#23

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