Question

Sea $ABCD$ un rombo con $AC = 16$ y $BD = 30.$ Sea $N$ un punto en $\overline{AB},$ y sean $P$ y $Q$ los pies de las perpendiculares desde $N$ a $\overline{AC}$ y $\overline{BD},$ respectivamente. ¿Cuál de las siguientes opciones se acerca más al mínimo valor posible de $PQ$ ?

Let $ABCD$ be a rhombus with $AC = 16$ and $BD = 30.$ Let $N$ be a point on $\overline{AB},$ and let $P$ and $Q$ be the feet of the perpendiculars from $N$ to $\overline{AC}$ and $\overline{BD},$ respectively. Which of the following is closest to the minimum possible value of $PQ?$

$6.5$

$6.75$

$7$

$7.25$

$7.5$

Respuesta: C

Conceptos:rombo altura optimización

Nivel de dificultad: 2020

Pista pequeña:

Sea $O$ el centro; las diagonales se cruzan en ángulo recto, así que $OPNQ$ es un rectángulo y $PQ = ON$

Let $O$ be the center; the diagonals meet at right angles, so $OPNQ$ is a rectangle and $PQ = ON$

Pista grande:

$ON$ es mínimo cuando $N$ es el pie de la altura desde $O$ en el triángulo rectángulo $AOB$ con catetos $8$ y $15$

$ON$ is smallest when $N$ is the foot of the altitude from $O$ in right triangle $AOB$ with legs $8$ and $15$

Solución:

Sea $O$ la intersección de las diagonales. Entonces el $\triangle AOB$ es rectángulo en $O$ con catetos $OA = 8$ y $OB = 15.$ El cuadrilátero $OPNQ$ tiene ángulos rectos en $O,$ $P,$ y $Q,$ así que es un rectángulo y $PQ = ON.$

El mínimo de $ON$ es la altura desde $O$ hasta $\overline{AB}$ en el $\triangle AOB.$ Como $AB = \sqrt{8^2 + 15^2} = 17,$ al igualar las dos expresiones del área se obtiene $\begin{aligned} ON &= \frac{OA \cdot OB}{AB} \\ &= \frac{8 \cdot 15}{17} \\ &= \frac{120}{17} \approx 7.06. \end{aligned}$

Esto es lo más cercano a $7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $O$ be the intersection of the diagonals. Then $\triangle AOB$ is right-angled at $O$ with legs $OA = 8$ and $OB = 15.$ Quadrilateral $OPNQ$ has right angles at $O,$ $P,$ and $Q,$ so it is a rectangle and $PQ = ON.$

The minimum of $ON$ is the altitude from $O$ to $\overline{AB}$ in $\triangle AOB.$ Since $AB = \sqrt{8^2 + 15^2} = 17,$ equating the two area expressions gives $\begin{aligned} ON &= \frac{OA \cdot OB}{AB} \\ &= \frac{8 \cdot 15}{17} \\ &= \frac{120}{17} \approx 7.06. \end{aligned}$

This is closest to $7.$

Thus, the correct answer is C.

2003 AMC 12B Problema 22

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2020

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años