Question

Los objetos $A$ y $B$ se mueven simultáneamente en el plano coordenado mediante una sucesión de pasos, cada uno de longitud uno. El objeto $A$ parte de $(0, 0)$ y cada uno de sus pasos es hacia la derecha o hacia arriba, ambos igualmente probables. El objeto $B$ parte de $(5, 7)$ y cada uno de sus pasos es hacia la izquierda o hacia abajo, ambos igualmente probables. ¿Cuál de los siguientes valores es el más cercano a la probabilidad de que los objetos se encuentren?

Objects $A$ and $B$ move simultaneously in the coordinate plane via a sequence of steps, each of length one. Object $A$ starts at $(0, 0)$ and each of its steps is either right or up, both equally likely. Object $B$ starts at $(5, 7)$ and each of its steps is either left or down, both equally likely. Which of the following is closest to the probability that the objects meet?

$0.10$

$0.15$

$0.20$

$0.25$

$0.30$

Respuesta: C

Conceptos:caminos reticulares camino aleatorio biyección

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Solo pueden encontrarse después de que cada uno haya dado $6$ pasos, a lo largo de la recta $x+y=6$ .

They can meet only after each has taken $6$ steps, along the line $x+y=6$

Pista grande:

El número de pares de trayectorias que se encuentran es $\binom{12}{5}$ de un total de $2^{12}$ pares.

The number of meeting path-pairs equals $\binom{12}{5}$ out of $2^{12}$ total pairs

Solución:

Los objetos están a $12$ pasos de distancia, así que solo pueden encontrarse después de que cada uno dé $6$ pasos, sobre la antidiagonal $x+y=6.$

Emparejar la trayectoria de seis pasos de $A$ con la trayectoria de seis pasos invertida de $B$ pone en correspondencia uno a uno los pares que se encuentran con los $\binom{12}{5}$ caminos monótonos de $(0,0)$ a $(5,7).$

La probabilidad es $\dfrac{\binom{12}{5}}{2^{12}}=\dfrac{792}{4096}\approx0.19,$ que es la más cercana a $0.20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The objects are $12$ steps apart, so they can only meet after each takes $6$ steps, on the anti-diagonal $x+y=6.$

Pairing $A$ ’s six-step path with $B$ ’s reversed six-step path matches meeting pairs one-to-one with the $\binom{12}{5}$ monotone walks from $(0,0)$ to $(5,7).$

The probability is $\dfrac{\binom{12}{5}}{2^{12}}=\dfrac{792}{4096}\approx0.19,$ which is closest to $0.20.$

Thus, the correct answer is C.

2003 AMC 12A Problema 22

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años