Question

Dos partículas se mueven a lo largo de las aristas del $\triangle ABC$ equilátero en la dirección $A\to B\to C\to A,$ partiendo simultáneamente y moviéndose a la misma velocidad. Una parte de $A,$ y la otra parte del punto medio de $\overline{BC}.$ El punto medio del segmento que une las dos partículas traza una trayectoria que encierra una región $R.$ ¿Cuál es la razón entre el área de $R$ y el área del $\triangle ABC$ ?

Two particles move along the edges of equilateral $\triangle ABC$ in the direction $A\to B\to C\to A,$ starting simultaneously and moving at the same speed. One starts at $A,$ and the other starts at the midpoint of $\overline{BC}.$ The midpoint of the line segment joining the two particles traces out a path that encloses a region $R.$ What is the ratio of the area of $R$ to the area of $\triangle ABC?$

$\dfrac{1}{16}$

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

Solución:

Sigue un tercer punto siempre a mitad de camino entre las dos partículas. Entre los momentos en que las partículas están en vértices o puntos medios, ambas se mueven linealmente, así que el punto medio también se mueve linealmente, trazando segmentos rectos que forman un pequeño triángulo $XYZ.$

Por simetría, $XYZ$ comparte su centro con el $\triangle ABC.$ Si $O$ es ese centro y $F$ es el punto medio de un lado, entonces $\begin{aligned} OZ&=OC-ZC \\ &=\dfrac23 CF-\dfrac12 CF \\ &=\dfrac16 CF, \end{aligned}$ mientras que $OC=\dfrac23 CF.$

Así que la razón de circunradios es $\dfrac{OZ}{OC}=\dfrac14,$ y la razón de áreas es $\left(\dfrac14\right)^2=\dfrac{1}{16}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Track a third point always halfway between the two particles. Between the moments when the particles are at vertices/midpoints, both particles move linearly, so the midpoint moves linearly too, tracing straight segments that form a small triangle $XYZ.$

By symmetry $XYZ$ shares its center with $\triangle ABC.$ If $O$ is that center and $F$ is the midpoint of a side, then $\begin{aligned} OZ&=OC-ZC \\ &=\dfrac23 CF-\dfrac12 CF \\ &=\dfrac16 CF, \end{aligned}$ while $OC=\dfrac23 CF.$

So the ratio of circumradii is $\dfrac{OZ}{OC}=\dfrac14,$ and the area ratio is $\left(\dfrac14\right)^2=\dfrac{1}{16}.$

Thus, the correct answer is A.

2007 AMC 12B Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años