Question

Una caja rectangular $P$ está inscrita en una esfera de radio $r.$ El área de la superficie de $P$ es $384,$ y la suma de las longitudes de sus $12$ aristas es $112.$ ¿Cuánto vale $r$ ?

A rectangular box $P$ is inscribed in a sphere of radius $r.$ The surface area of $P$ is $384,$ and the sum of the lengths of its $12$ edges is $112.$ What is $r?$

$8$

$10$

$12$

$14$

$16$

Solución:

Sean las dimensiones $x, y, z.$ Las $12$ aristas dan $4(x + y + z) = 112,$ así que $x + y + z = 28,$ y el área de la superficie da $2xy + 2yz + 2xz = 384.$

La diagonal espacial es un diámetro de la esfera, así que $\begin{aligned} &(2r)^2 = x^2 + y^2 + z^2 \\ &= (x + y + z)^2 \\ &\quad {}- (2xy + 2yz + 2xz) \\ &= 28^2 - 384 = 400. \end{aligned}$

Por lo tanto $2r = 20$ y $r = 10.$

Así, la respuesta correcta es B.

Let the dimensions be $x, y, z.$ The $12$ edges give $4(x + y + z) = 112,$ so $x + y + z = 28,$ and the surface area gives $2xy + 2yz + 2xz = 384.$

The space diagonal is a diameter of the sphere, so $\begin{aligned} &(2r)^2 = x^2 + y^2 + z^2 \\ &= (x + y + z)^2 \\ &\quad {}- (2xy + 2yz + 2xz) \\ &= 28^2 - 384 = 400. \end{aligned}$

Thus $2r = 20$ and $r = 10.$

Thus, the correct answer is B.

2005 AMC 12A Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años