Soluciones del 2005 AMC 12A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Dos es el $10\%$ de $x$ y el $20\%$ de $y.$ ¿Cuánto vale $x - y$ ?

Two is $10\%$ of $x$ and $20\%$ of $y.$ What is $x - y?$

$1$

$2$

$5$

$10$

$20$

Conceptos:porcentaje ecuación lineal

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

El $10\%$ de $x$ significa $0.1x$ .

$10\%$ of $x$ means $0.1x$

Pista grande:

Resuelve $0.1x = 2$ y $0.2y = 2$ por separado.

Solve $0.1x = 2$ and $0.2y = 2$ separately

Solución:

De $0.1x = 2$ obtenemos $x = 20,$ y de $0.2y = 2$ obtenemos $y = 10.$

Por lo tanto $x - y = 20 - 10 = 10.$

Así, la respuesta correcta es D.

From $0.1x = 2$ we get $x = 20,$ and from $0.2y = 2$ we get $y = 10.$

Therefore $x - y = 20 - 10 = 10.$

Thus, the correct answer is D.

2.

Las ecuaciones $2x + 7 = 3$ y $bx - 10 = -2$ tienen la misma solución para $x.$ ¿Cuál es el valor de $b$ ?

The equations $2x + 7 = 3$ and $bx - 10 = -2$ have the same solution for $x.$ What is the value of $b?$

$-8$

$-4$

$-2$

$4$

$8$

Conceptos:ecuación lineal sustitución

Nivel de dificultad: 910

Pista pequeña:

Primero resuelve $2x + 7 = 3$ para $x$ .

First solve $2x + 7 = 3$ for $x$

Pista grande:

Sustituye ese valor de $x$ en $bx - 10 = -2$ .

Substitute that value of $x$ into $bx - 10 = -2$

Solución:

Al resolver $2x + 7 = 3$ se obtiene $x = -2.$

Al sustituir en la segunda ecuación, $-2b - 10 = -2,$ así que $-2b = 8$ y $b = -4.$

Así, la respuesta correcta es B.

Solving $2x + 7 = 3$ gives $x = -2.$

Substituting into the second equation, $-2b - 10 = -2,$ so $-2b = 8$ and $b = -4.$

Thus, the correct answer is B.

3.

Un rectángulo con una diagonal de longitud $x$ es dos veces más largo que ancho. ¿Cuál es el área del rectángulo?

A rectangle with a diagonal of length $x$ is twice as long as it is wide. What is the area of the rectangle?

$\dfrac{1}{4}x^2$

$\dfrac{2}{5}x^2$

$\dfrac{1}{2}x^2$

$x^2$

$\dfrac{3}{2}x^2$

Conceptos:rectángulo Teorema de Pitágoras área

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Sea el ancho $w,$ de modo que el largo es $2w$ .

Let the width be $w,$ so the length is $2w$

Pista grande:

La diagonal satisface $x^2 = w^2 + (2w)^2$ .

The diagonal satisfies $x^2 = w^2 + (2w)^2$

Solución:

Sea el ancho $w.$ Entonces el largo es $2w,$ y la diagonal da $x^2 = w^2 + (2w)^2 = 5w^2.$

El área es $w \cdot 2w = 2w^2 = \dfrac{2}{5}x^2.$

Así, la respuesta correcta es B.

Let the width be $w.$ Then the length is $2w,$ and the diagonal gives $x^2 = w^2 + (2w)^2 = 5w^2.$

The area is $w \cdot 2w = 2w^2 = \dfrac{2}{5}x^2.$

Thus, the correct answer is B.

4.

Una tienda normalmente vende ventanas a $\$100$ cada una. Esta semana la tienda ofrece una ventana gratis por cada compra de cuatro. Dave necesita siete ventanas y Doug necesita ocho ventanas. ¿Cuántos dólares ahorrarán si compran las ventanas juntos en lugar de por separado?

A store normally sells windows at $\$100$ each. This week the store is offering one free window for each purchase of four. Dave needs seven windows and Doug needs eight windows. How many dollars will they save if they purchase the windows together rather than separately?

$100$

$200$

$300$

$400$

$500$

Conceptos:conteo básico

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Por cada $4$ ventanas pagadas, la número $5$ sale gratis.

For every $4$ windows paid for, a $5$ th comes free

Pista grande:

Compara el número de ventanas pagadas por separado con el de $15$ ventanas juntas.

Compare the number of paid windows separately versus for $15$ windows together

Solución:

Comprando por separado, Dave obtiene $7$ ventanas pagando $6$ ( $\$600$ ), y Doug obtiene $8$ pagando $7$ ( $\$700$ ), para un total de $\$1300.$

Comprando juntos, necesitan $15$ ventanas: pagando $12$ obtienen $3$ gratis, con un costo de $\$1200.$

El ahorro es $\$1300 - \$1200 = \$100.$

Así, la respuesta correcta es A.

Buying separately, Dave gets $7$ windows by paying for $6$ ( $\$600$ ), and Doug gets $8$ by paying for $7$ ( $\$700$ ), for a total of $\$1300.$

Buying together, they need $15$ windows: paying for $12$ yields $3$ free, for a cost of $\$1200.$

The savings are $\$1300 - \$1200 = \$100.$

Thus, the correct answer is A.

5.

El promedio (media) de $20$ números es $30,$ y el promedio de otros $30$ números es $20.$ ¿Cuál es el promedio de los $50$ números en total?

The average (mean) of $20$ numbers is $30,$ and the average of $30$ other numbers is $20.$ What is the average of all $50$ numbers?

$23$

$24$

$25$

$26$

$27$

Conceptos:media

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Primero halla la suma total de los $50$ números.

Find the total sum of all $50$ numbers first

Pista grande:

La suma combinada es $20 \cdot 30 + 30 \cdot 20$ .

The combined sum is $20 \cdot 30 + 30 \cdot 20$

Solución:

El total de los $50$ números es $20 \cdot 30 + 30 \cdot 20$ $= 600 + 600$ $= 1200.$

El promedio es $1200 \div 50 = 24.$

Así, la respuesta correcta es B.

The total of all $50$ numbers is $20 \cdot 30 + 30 \cdot 20$ $= 600 + 600$ $= 1200.$

The average is $1200 \div 50 = 24.$

Thus, the correct answer is B.

6.

Josh y Mike viven a $13$ millas de distancia. Ayer Josh empezó a andar en bicicleta hacia la casa de Mike. Un poco después Mike empezó a andar en bicicleta hacia la casa de Josh. Cuando se encontraron, Josh había pedaleado el doble de tiempo que Mike y a cuatro quintos de la velocidad de Mike. ¿Cuántas millas había recorrido Mike cuando se encontraron?

Josh and Mike live $13$ miles apart. Yesterday Josh started to ride his bicycle toward Mike’s house. A little later Mike started to ride his bicycle toward Josh’s house. When they met, Josh had ridden for twice the length of time as Mike and at four-fifths of Mike’s rate. How many miles had Mike ridden when they met?

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo razón y proporción

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

Para cada ciclista, la distancia es igual a la velocidad por el tiempo.

Distance equals rate times time for each rider

Pista grande:

La distancia de Josh es $\dfrac{4}{5} \cdot 2 = \dfrac{8}{5}$ de la distancia de Mike.

Josh’s distance is $\dfrac{4}{5} \cdot 2 = \dfrac{8}{5}$ of Mike’s distance

Solución:

Como la distancia es velocidad por tiempo, Josh recorrió $\dfrac{4}{5} \cdot 2 = \dfrac{8}{5}$ de lo que recorrió Mike.

Sea $m$ las millas que recorrió Mike. Entonces $13 = m + \dfrac{8}{5}m = \dfrac{13}{5}m,$ así que $m = 5.$

Así, la respuesta correcta es B.

Since distance is rate times time, Josh rode $\dfrac{4}{5} \cdot 2 = \dfrac{8}{5}$ as far as Mike.

Let $m$ be the miles Mike rode. Then $13 = m + \dfrac{8}{5}m = \dfrac{13}{5}m,$ so $m = 5.$

Thus, the correct answer is B.

7.

El cuadrado $EFGH$ está dentro del cuadrado $ABCD$ de modo que cada lado de $EFGH$ puede extenderse para pasar por un vértice de $ABCD.$ El cuadrado $ABCD$ tiene lado $\sqrt{50},$ $E$ está entre $B$ y $H,$ y $BE = 1.$ ¿Cuál es el área del cuadrado interior $EFGH$ ?

Square $EFGH$ is inside square $ABCD$ so that each side of $EFGH$ can be extended to pass through a vertex of $ABCD.$ Square $ABCD$ has side length $\sqrt{50},$ $E$ is between $B$ and $H,$ and $BE = 1.$ What is the area of the inner square $EFGH?$

$25$

$32$

$36$

$40$

$42$

Conceptos:cuadrado (geometría)Teorema de Pitágoras congruencia (geometría)

Nivel de dificultad: 1460

Pista pequeña:

Por simetría, los cuatro triángulos de las esquinas son triángulos rectángulos congruentes.

By symmetry the four corner triangles are congruent right triangles

Pista grande:

En el triángulo rectángulo $BCE,$ el cateto $CE = BH = \sqrt{BC^2 - BE^2}$ .

In right triangle $BCE,$ the leg $CE = BH = \sqrt{BC^2 - BE^2}$

Solución:

Por la simetría de la figura, los triángulos $ABH,$ $BCE,$ $CDF,$ y $DAG$ son triángulos rectángulos congruentes. Por lo tanto $\begin{aligned} &BH = CE = \sqrt{BC^2 - BE^2} \\ &= \sqrt{50 - 1} = 7. \end{aligned}$

Como $E$ está entre $B$ y $H,$ el lado del cuadrado interior es $EH = BH - BE = 7 - 1 = 6.$

Por lo tanto el área de $EFGH$ es $6^2 = 36.$

Así, la respuesta correcta es C.

By the symmetry of the figure, triangles $ABH,$ $BCE,$ $CDF,$ and $DAG$ are congruent right triangles. Hence $\begin{aligned} &BH = CE = \sqrt{BC^2 - BE^2} \\ &= \sqrt{50 - 1} = 7. \end{aligned}$

Since $E$ lies between $B$ and $H,$ the side of the inner square is $EH = BH - BE = 7 - 1 = 6.$

Therefore the area of $EFGH$ is $6^2 = 36.$

Thus, the correct answer is C.

8.

Sean $A,$ $M,$ y $C$ dígitos tales que $\begin{aligned} &(100A + 10M + C) \\ &\quad {}\cdot (A + M + C) = 2005. \end{aligned}$ ¿Cuánto vale $A$ ?

Let $A,$ $M,$ and $C$ be digits with $\begin{aligned} &(100A + 10M + C) \\ &\quad {}\cdot (A + M + C) = 2005. \end{aligned}$ What is $A?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:factorización en primos dígitos acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Factoriza $2005$ en primos.

Factor $2005$ into primes

Pista grande:

La suma de dígitos $A + M + C$ es a lo sumo $27,$ lo que determina a qué factor es igual.

The digit sum $A + M + C$ is at most $27,$ which pins down which factor it equals

Solución:

Como $A + M + C \le 9 + 9 + 9 = 27,$ y $2005 = 5 \cdot 401,$ la suma de dígitos solo puede ser $1$ o $5.$ No puede ser $1,$ porque entonces $100A+10M+C=2005>999.$ Por lo tanto, debe ser el factor no trivial menor: $\begin{aligned} &100A + 10M + C = 401, \\ &\quad A + M + C = 5. \end{aligned}$

Leyendo los dígitos, $A = 4,$ $M = 0,$ y $C = 1.$

Así, la respuesta correcta es D.

Since $A + M + C \le 9 + 9 + 9 = 27,$ and $2005 = 5 \cdot 401,$ the digit sum can only be $1$ or $5.$ It cannot be $1,$ because then $100A+10M+C=2005>999.$ Thus it must be the smaller nontrivial factor: $\begin{aligned} &100A + 10M + C = 401, \\ &\quad A + M + C = 5. \end{aligned}$

Reading off the digits, $A = 4,$ $M = 0,$ and $C = 1.$

Thus, the correct answer is D.

9.

Hay dos valores de $a$ para los cuales la ecuación $4x^2 + ax + 8x + 9 = 0$ tiene una sola solución para $x.$ ¿Cuál es la suma de esos valores de $a$ ?

There are two values of $a$ for which the equation $4x^2 + ax + 8x + 9 = 0$ has only one solution for $x.$ What is the sum of those values of $a?$

$-16$

$-8$

$0$

$8$

$20$

Conceptos:cuadrática Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

Una ecuación cuadrática tiene una sola solución exactamente cuando su discriminante es $0$ .

A quadratic has one solution exactly when its discriminant is $0$

Pista grande:

Escribe el coeficiente lineal como $a + 8$ e iguala $(a+8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 0$ .

Write the linear coefficient as $a + 8$ and set $(a+8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 0$

Solución:

La ecuación es $4x^2 + (a+8)x + 9 = 0.$ Tiene una sola solución cuando el discriminante se anula: $(a+8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 0,$ así que $(a+8)^2 = 144$ y $a + 8 = \pm 12.$

Por lo tanto $a = 4$ o $a = -20,$ y su suma es $-16.$

Así, la respuesta correcta es A.

The equation is $4x^2 + (a+8)x + 9 = 0.$ It has one solution when the discriminant vanishes: $(a+8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 0,$ so $(a+8)^2 = 144$ and $a + 8 = \pm 12.$

Thus $a = 4$ or $a = -20,$ and their sum is $-16.$

Thus, the correct answer is A.

10.

Un cubo de madera de $n$ unidades de lado se pinta de rojo en las seis caras y luego se corta en $n^3$ cubos unitarios. Exactamente una cuarta parte del número total de caras de los cubos unitarios es roja. ¿Cuánto vale $n$ ?

A wooden cube $n$ units on a side is painted red on all six faces and then cut into $n^3$ unit cubes. Exactly one-fourth of the total number of faces of the unit cubes are red. What is $n?$

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Conceptos:geometría del cubo área de superficie razón y proporción

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Cuenta el número total de caras de los cubos pequeños y cuántas de ellas son rojas.

Count the total number of small-cube faces and the number that are red

Pista grande:

En total hay $6n^3$ caras y $6n^2$ rojas.

There are $6n^3$ faces in all and $6n^2$ red ones

Solución:

Los $n^3$ cubos unitarios tienen $6n^3$ caras en total. Las caras rojas son exactamente la superficie del cubo original, $6n^2$ de ellas.

Igualando la fracción roja a un cuarto, $\dfrac{6n^2}{6n^3} = \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{4},$ así que $n = 4.$

Así, la respuesta correcta es B.

The $n^3$ unit cubes have $6n^3$ faces total. The red faces are exactly the surface of the original cube, $6n^2$ of them.

Setting the red fraction to one-fourth, $\dfrac{6n^2}{6n^3} = \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{4},$ so $n = 4.$

Thus, the correct answer is B.

11.

¿Cuántos números de tres dígitos cumplen que el dígito del medio es el promedio del primer y del último dígito?

How many three-digit numbers satisfy the property that the middle digit is the average of the first and the last digits?

$41$

$42$

$43$

$44$

$45$

Conceptos:dígitos paridad conteo básico

Nivel de dificultad: 1620

Pista pequeña:

El dígito del medio es entero solo cuando el primer y el último dígito tienen la misma paridad.

The middle digit is an integer only when the first and last digits have the same parity

Pista grande:

Cuenta por separado los pares impar-impar y los pares par-par, recordando que el primer dígito no es cero.

Count the odd-odd pairs and the even-even pairs separately, remembering the first digit is nonzero

Solución:

El dígito del medio es entero solo cuando el primer y el último dígito son ambos impares o ambos pares. Cada uno de esos pares determina el dígito del medio de forma única.

Hay $5 \cdot 5 = 25$ opciones impar-impar para el primer y el último dígito. Para par-par, el primer dígito no puede ser $0,$ lo que da $4 \cdot 5 = 20$ opciones.

El total es $25 + 20 = 45.$

Así, la respuesta correcta es E.

The middle digit is an integer only when the first and last digits are both odd or both even. Each such pair determines the middle digit uniquely.

There are $5 \cdot 5 = 25$ odd-odd choices for the first and last digits. For even-even, the first digit cannot be $0,$ giving $4 \cdot 5 = 20$ choices.

The total is $25 + 20 = 45.$

Thus, the correct answer is E.

12.

Una recta pasa por $A(1, 1)$ y $B(100, 1000).$ ¿Cuántos otros puntos con coordenadas enteras están sobre la recta y estrictamente entre $A$ y $B$ ?

A line passes through $A(1, 1)$ and $B(100, 1000).$ How many other points with integer coordinates are on the line and strictly between $A$ and $B?$

$0$

$2$

$3$

$8$

$9$

Conceptos:punto reticular máximo común divisor pendiente

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Reduce la pendiente $\dfrac{1000 - 1}{100 - 1}$ a su mínima expresión.

Reduce the slope $\dfrac{1000 - 1}{100 - 1}$ to lowest terms

Pista grande:

Los puntos de la recta tienen la forma $(1 + 11t,\ 1 + 111t);$ cuenta los enteros $t$ estrictamente entre los extremos.

Points on the line take the form $(1 + 11t,\ 1 + 111t);$ count integer $t$ strictly between the endpoints

Solución:

La pendiente es $\dfrac{1000 - 1}{100 - 1} = \dfrac{999}{99} = \dfrac{111}{11}.$

Así, todo punto de la recta tiene la forma $(1 + 11t,\ 1 + 111t),$ que es un punto reticular exactamente cuando $t$ es entero. El punto está estrictamente entre $A$ y $B$ cuando $0 \lt t \lt 9.$

Hay $8$ enteros $t,$ lo que da $8$ puntos reticulares.

Así, la respuesta correcta es D.

The slope is $\dfrac{1000 - 1}{100 - 1} = \dfrac{999}{99} = \dfrac{111}{11}.$

So every point on the line has the form $(1 + 11t,\ 1 + 111t),$ which is a lattice point exactly when $t$ is an integer. The point is strictly between $A$ and $B$ when $0 \lt t \lt 9.$

There are $8$ such integers $t,$ giving $8$ lattice points.

Thus, the correct answer is D.

13.

En la estrella de cinco puntas mostrada, las letras $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ y $E$ se reemplazan por los números $3,$ $5,$ $6,$ $7,$ y $9,$ aunque no necesariamente en ese orden. Las sumas de los números en los extremos de los segmentos $AB,$ $BC,$ $CD,$ $DE,$ y $EA$ forman una progresión aritmética, aunque no necesariamente en ese orden. ¿Cuál es el término central de la progresión aritmética?

In the five-sided star shown, the letters $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ and $E$ are replaced by the numbers $3,$ $5,$ $6,$ $7,$ and $9,$ although not necessarily in that order. The sums of the numbers at the ends of the line segments $AB,$ $BC,$ $CD,$ $DE,$ and $EA$ form an arithmetic sequence, although not necessarily in that order. What is the middle term of the arithmetic sequence?

$9$

$10$

$11$

$12$

$13$

Conceptos:sucesión aritmética doble conteo

Nivel de dificultad: 1620

Pista pequeña:

Cada uno de los cinco números es extremo de exactamente dos segmentos.

Each of the five numbers is an endpoint of exactly two segments

Pista grande:

El término central de una progresión aritmética de cinco términos es igual a la media de los cinco términos.

The middle term of a five-term arithmetic sequence equals the mean of all five terms

Solución:

Cada número aparece como extremo de exactamente dos de los cinco segmentos, por lo que el total de las cinco sumas es $2(3 + 5 + 6 + 7 + 9) = 60.$

El término central de una progresión aritmética de cinco términos es su media, es decir $60 \div 5 = 12.$

Así, la respuesta correcta es D.

Every number appears as an endpoint of exactly two of the five segments, so the total of the five sums is $2(3 + 5 + 6 + 7 + 9) = 60.$

The middle term of a five-term arithmetic sequence is its mean, namely $60 \div 5 = 12.$

Thus, the correct answer is D.

14.

En un dado estándar se quita uno de los puntos al azar, siendo cada punto igualmente probable de ser elegido. Luego se lanza el dado. ¿Cuál es la probabilidad de que la cara superior tenga un número impar de puntos?

On a standard die one of the dots is removed at random with each dot equally likely to be chosen. The die is then rolled. What is the probability that the top face has an odd number of dots?

$\dfrac{5}{11}$

$\dfrac{10}{21}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{11}{21}$

$\dfrac{6}{11}$

Conceptos:dados (probabilidad)probabilidad condicional paridad

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Un dado estándar tiene $1 + 2 + \cdots + 6 = 21$ puntos, así que el punto quitado proviene de la cara $n$ con probabilidad $\dfrac{n}{21}$ .

A standard die has $1 + 2 + \cdots + 6 = 21$ dots, so the removed dot comes from face $n$ with probability $\dfrac{n}{21}$

Pista grande:

Quitar un punto de una cara par la vuelve impar; quitarlo de una cara impar la vuelve par.

Removing a dot from an even face makes it odd; removing from an odd face makes it even

Solución:

El dado tiene $21$ puntos, así que se quita un punto de la cara con $n$ puntos con probabilidad $\dfrac{n}{21}.$

Si se quita un punto de una cara impar, esa cara pasa a ser par y quedan dos caras impares, de modo que la cara superior es impar con probabilidad $\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$ ; si se quita de una cara par, esa cara pasa a ser impar y quedan cuatro caras impares, de modo que la probabilidad es $\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}.$ El punto quitado está en una cara impar con probabilidad $\dfrac{1 + 3 + 5}{21}$ y en una cara par con probabilidad $\dfrac{2 + 4 + 6}{21}.$

Por lo tanto la respuesta es $\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{9}{21} + \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{12}{21} = \dfrac{33}{63} = \dfrac{11}{21}.$

Así, la respuesta correcta es D.

The die has $21$ dots, so a dot is removed from the face with $n$ dots with probability $\dfrac{n}{21}.$

If a dot is removed from an odd face, that face becomes even, leaving two odd faces and hence probability $\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$ of an odd top. If a dot is removed from an even face, that face becomes odd, leaving four odd faces and hence probability $\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}.$ The removed dot lies on an odd face with probability $\dfrac{1 + 3 + 5}{21}$ and on an even face with probability $\dfrac{2 + 4 + 6}{21}.$

Hence the answer is $\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{9}{21} + \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{12}{21} = \dfrac{33}{63} = \dfrac{11}{21}.$

Thus, the correct answer is D.

15.

Sea $AB$ un diámetro de un círculo y $C$ un punto sobre $AB$ con $2 \cdot AC = BC.$ Sean $D$ y $E$ puntos del círculo tales que $DC \perp AB$ y $DE$ es un segundo diámetro. ¿Cuál es la razón entre el área de $\triangle DCE$ y el área de $\triangle ABD$ ?

Let $AB$ be a diameter of a circle and $C$ be a point on $AB$ with $2 \cdot AC = BC.$ Let $D$ and $E$ be points on the circle such that $DC \perp AB$ and $DE$ is a second diameter. What is the ratio of the area of $\triangle DCE$ to the area of $\triangle ABD?$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

Conceptos:círculo razón de áreas punto medio

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Sea $O$ el centro. Como $AC = \dfrac{AB}{3}$ y $AO = \dfrac{AB}{2},$ halla $CO$ .

Let $O$ be the center. Since $AC = \dfrac{AB}{3}$ and $AO = \dfrac{AB}{2},$ find $CO$

Pista grande:

$\triangle DCO$ y $\triangle ECO$ tienen áreas iguales porque $O$ es el punto medio de $DE$ .

$\triangle DCO$ and $\triangle ECO$ have equal areas because $O$ is the midpoint of $DE$

Solución:

Sea $O$ el centro. Como $2 \cdot AC = BC,$ tenemos $AC = \dfrac{AB}{3},$ y $AO = \dfrac{AB}{2},$ así que $\begin{aligned} &CO = AO - AC \\ &= \dfrac{AB}{2} - \dfrac{AB}{3} \\ &= \dfrac{AB}{6}. \end{aligned}$

Los triángulos $DCO$ y $DAB$ comparten la misma altura desde $D$ hasta la recta $AB,$ así que $\dfrac{[DCO]}{[DAB]} = \dfrac{CO}{AB} = \dfrac{1}{6}.$

Como $O$ es el punto medio de $DE,$ los triángulos $DCO$ y $ECO$ tienen áreas iguales, así que $\begin{aligned} &[DCE] = 2\,[DCO] \\ &= \dfrac{2}{6}[DAB] = \dfrac{1}{3}[DAB]. \end{aligned}$

Así, la respuesta correcta es C.

Let $O$ be the center. Since $2 \cdot AC = BC,$ we have $AC = \dfrac{AB}{3},$ and $AO = \dfrac{AB}{2},$ so $\begin{aligned} &CO = AO - AC \\ &= \dfrac{AB}{2} - \dfrac{AB}{3} \\ &= \dfrac{AB}{6}. \end{aligned}$

Triangles $DCO$ and $DAB$ share the same altitude from $D$ to line $AB,$ so $\dfrac{[DCO]}{[DAB]} = \dfrac{CO}{AB} = \dfrac{1}{6}.$

Because $O$ is the midpoint of $DE,$ triangles $DCO$ and $ECO$ have equal areas, so $\begin{aligned} &[DCE] = 2\,[DCO] \\ &= \dfrac{2}{6}[DAB] = \dfrac{1}{3}[DAB]. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

16.

Se dibujan tres círculos de radio $s$ en el primer cuadrante del plano $xy$ . El primer círculo es tangente a ambos ejes, el segundo es tangente al primer círculo y al eje $x$ , y el tercero es tangente al primer círculo y al eje $y$ . Un círculo de radio $r \gt s$ es tangente a ambos ejes y al segundo y tercer círculos. ¿Cuánto vale $\frac{r}{s}$ ?

Three circles of radius $s$ are drawn in the first quadrant of the $xy$ -plane. The first circle is tangent to both axes, the second is tangent to the first circle and the $x$ -axis, and the third is tangent to the first circle and the $y$ -axis. A circle of radius $r \gt s$ is tangent to both axes and to the second and third circles. What is $\frac{r}{s}?$

$5$

$6$

$8$

$9$

$10$

Conceptos:circunferencias tangentes geometría analítica Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Ubica los centros según sus radios: el círculo grande está en $(r, r)$ y el segundo círculo pequeño en $(3s, s)$ .

Place the centers by their radii: the big circle is at $(r, r)$ and the second small circle at $(3s, s)$

Pista grande:

La distancia entre el centro grande y un centro pequeño tangente es igual a $r + s;$ aplica el teorema de Pitágoras a las separaciones horizontal y vertical.

The distance between the big center and a tangent small center equals $r + s;$ apply the Pythagorean theorem to the horizontal and vertical gaps

Solución:

Coloca el centro del círculo grande en $(r, r)$ y el centro del segundo círculo pequeño en $(3s, s).$ Son tangentes externamente, así que la distancia entre centros es $r + s.$

Las separaciones horizontal y vertical son $r - 3s$ y $r - s,$ así que $(r + s)^2 = (r - 3s)^2 + (r - s)^2.$

Al desarrollar se obtiene $0 = r^2 - 10rs + 9s^2$ $= (r - 9s)(r - s).$ Como $r \ne s,$ obtenemos $r = 9s,$ así que $\frac{r}{s} = 9.$

Así, la respuesta correcta es D.

Put the big circle’s center at $(r, r)$ and the second small circle’s center at $(3s, s).$ They are externally tangent, so the distance between centers is $r + s.$

The horizontal and vertical gaps are $r - 3s$ and $r - s,$ so $(r + s)^2 = (r - 3s)^2 + (r - s)^2.$

Expanding gives $0 = r^2 - 10rs + 9s^2$ $= (r - 9s)(r - s).$ Since $r \ne s,$ we get $r = 9s,$ so $\frac{r}{s} = 9.$

Thus, the correct answer is D.

17.

Un cubo unitario se corta dos veces para formar tres prismas triangulares, dos de los cuales son congruentes, como se muestra en la Figura $1.$ Luego el cubo se corta de la misma manera a lo largo de las líneas discontinuas mostradas en la Figura $2.$ Esto crea nueve piezas. ¿Cuál es el volumen de la pieza que contiene el vértice $W$ ?

A unit cube is cut twice to form three triangular prisms, two of which are congruent, as shown in Figure $1.$ The cube is then cut in the same manner along the dashed lines shown in Figure $2.$ This creates nine pieces. What is the volume of the piece that contains vertex $W?$

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

Conceptos:pirámide volumen Geometría 3D

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

La pieza en $W$ es una pirámide; identifica su base y su ápice.

The piece at $W$ is a pyramid; identify its base and apex

Pista grande:

Si el área de su base es $B$ y su altura es $h,$ usa $V = \dfrac{1}{3}Bh$ .

If its base area is $B$ and height is $h,$ use $V = \dfrac{1}{3}Bh$

Solución:

Cada uno de los dos conjuntos de cortes va desde una arista superior hasta la línea media de la cara inferior. Cerca de $W$ tallan una pirámide cuadrangular. Su base es la cuarta parte de la cara inferior adyacente a $W,$ y su ápice está a una unidad por encima del centro de la cara inferior.

Su base es un cuadrado de lado $\dfrac{1}{2}$ (una cuarta parte de la cara inferior) y su altura es la altura completa $1.$ Por lo tanto el volumen es $\dfrac{1}{3} \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 (1) = \dfrac{1}{12}.$

Así, la respuesta correcta es A.

The two perpendicular sets of cuts each run from top edges to midlines of the bottom face. Near $W$ they carve out a square pyramid. Its base is the quarter of the bottom face adjacent to $W,$ and its apex lies one unit above the center of the bottom face.

Thus its base is a square of side $\dfrac{1}{2}$ and its altitude is the full height $1.$ Therefore the volume is $\dfrac{1}{3} \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 (1) = \dfrac{1}{12}.$

Thus, the correct answer is A.

18.

Llamamos a un número «de apariencia prima» si es compuesto pero no divisible por $2,$ $3,$ o $5.$ Los tres números de apariencia prima más pequeños son $49,$ $77,$ y $91.$ Hay $168$ números primos menores que $1000.$ ¿Cuántos números de apariencia prima hay menores que $1000$ ?

Call a number “prime-looking” if it is composite but not divisible by $2,$ $3,$ or $5.$ The three smallest prime-looking numbers are $49,$ $77,$ and $91.$ There are $168$ prime numbers less than $1000.$ How many prime-looking numbers are there less than $1000?$

$100$

$102$

$104$

$106$

$108$

Conceptos:inclusión-exclusión primo conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Usa inclusión-exclusión para contar los números menores que $1000$ divisibles por $2, 3,$ o $5$ .

Use inclusion-exclusion to count the numbers below $1000$ divisible by $2, 3,$ or $5$

Pista grande:

De los números coprimos con $2, 3, 5,$ quita los primos y el número $1$ .

From the numbers coprime to $2, 3, 5,$ remove the primes and the number $1$

Solución:

Entre los $999$ números del $1$ al $999,$ la inclusión-exclusión da $\begin{aligned} &499 + 333 + 199 - 166 \\ &\quad {}- 99 - 66 + 33 = 733 \end{aligned}$ que son divisibles por $2, 3,$ o $5.$

Eso deja $999 - 733 = 266$ números coprimos con $2, 3, 5.$ De estos, $165$ son primos (los $168$ primos menos $2, 3, 5$ ), y $1$ no es ni primo ni compuesto.

Los $266 - 165 - 1 = 100$ números restantes son de apariencia prima.

Así, la respuesta correcta es A.

Among the $999$ numbers from $1$ to $999,$ inclusion-exclusion gives $\begin{aligned} &499 + 333 + 199 - 166 \\ &\quad {}- 99 - 66 + 33 = 733 \end{aligned}$ that are divisible by $2, 3,$ or $5.$

That leaves $999 - 733 = 266$ numbers coprime to $2, 3, 5.$ Of these, $165$ are primes (the $168$ primes minus $2, 3, 5$ ), and $1$ is neither prime nor composite.

The remaining $266 - 165 - 1 = 100$ numbers are prime-looking.

Thus, the correct answer is A.

19.

Un odómetro defectuoso de un auto pasa del dígito $3$ al dígito $5,$ saltándose siempre el dígito $4,$ sin importar la posición. Por ejemplo, tras recorrer una milla el odómetro cambió de $000039$ a $000050.$ Si el odómetro ahora marca $002005,$ ¿cuántas millas ha recorrido realmente el auto?

A faulty car odometer proceeds from digit $3$ to digit $5,$ always skipping the digit $4,$ regardless of position. For example, after traveling one mile the odometer changed from $000039$ to $000050.$ If the odometer now reads $002005,$ how many miles has the car actually traveled?

$1404$

$1462$

$1604$

$1605$

$1804$

Conceptos:base numérica

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

El odómetro solo muestra $9$ dígitos distintos, así que en realidad cuenta en base $9$ .

The odometer only ever shows $9$ distinct digits, so it is really counting in base $9$

Pista grande:

Asocia cada dígito mostrado a su valor en base $9$ : $5, 6, 7, 8, 9$ representan $4, 5, 6, 7, 8$ .

Map each shown digit to its base- $9$ value: $5, 6, 7, 8, 9$ stand for $4, 5, 6, 7, 8$

Solución:

Como el odómetro nunca muestra un $4,$ usa solo $9$ símbolos y cuenta en base $9,$ donde sus dígitos $5, 6, 7, 8, 9$ representan, en base $9$ , los dígitos $4, 5, 6, 7, 8.$

La lectura $002005$ corresponde entonces a $2004$ en base $9,$ que es igual a $2 \cdot 9^3 + 4 = 2 \cdot 729 + 4 = 1462.$

Así, la respuesta correcta es B.

Because the odometer never displays a $4,$ it uses only $9$ symbols and counts in base $9,$ where its digits $5, 6, 7, 8, 9$ represent the base- $9$ digits $4, 5, 6, 7, 8.$

The reading $002005$ therefore corresponds to $2004$ in base $9,$ which equals $2 \cdot 9^3 + 4 = 2 \cdot 729 + 4 = 1462.$

Thus, the correct answer is B.

20.

Para cada $x$ en $[0, 1],$ define $f(x) = \begin{cases} 2x, & 0 \le x \le \tfrac{1}{2},\\ 2 - 2x, & \tfrac{1}{2} \lt x \le 1. \end{cases}$ Sea $f^{[2]}(x) = f(f(x)),$ y $f^{[n+1]}(x) = f^{[n]}(f(x))$ para cada entero $n \ge 2.$ ¿Para cuántos valores de $x$ en $[0, 1]$ se cumple $f^{[2005]}(x) = \tfrac{1}{2}$ ?

For each $x$ in $[0, 1],$ define $f(x) = \begin{cases} 2x, & 0 \le x \le \tfrac{1}{2},\\ 2 - 2x, & \tfrac{1}{2} \lt x \le 1. \end{cases}$ Let $f^{[2]}(x) = f(f(x)),$ and $f^{[n+1]}(x) = f^{[n]}(f(x))$ for each integer $n \ge 2.$ For how many values of $x$ in $[0, 1]$ is $f^{[2005]}(x) = \tfrac{1}{2}?$

$0$

$2005$

$4010$

$2005^2$

$2^{2005}$

Conceptos:función recursión

Nivel de dificultad: 2330

Pista pequeña:

Sea $g(n)$ el número de soluciones de $f^{[n]}(x) = \tfrac{1}{2};$ halla una recursión para $g(n)$ .

Let $g(n)$ be the number of solutions of $f^{[n]}(x) = \tfrac{1}{2};$ find a recursion for $g(n)$

Pista grande:

Como $f$ aplica cada uno de $[0, \tfrac12]$ y $[\tfrac12, 1]$ sobre todo $[0, 1],$ cada solución se divide en dos, lo que da $g(n) = 2\,g(n-1)$ .

Because $f$ maps each of $[0, \tfrac12]$ and $[\tfrac12, 1]$ onto all of $[0, 1],$ each solution splits into two, giving $g(n) = 2\,g(n-1)$

Solución:

Sea $g(n)$ el número de soluciones de $f^{[n]}(x) = \tfrac{1}{2}$ en $[0, 1].$ Como $f$ aplica cada una de las dos mitades $[0, \tfrac12]$ y $[\tfrac12, 1]$ sobre todo $[0, 1],$ cada solución de $f^{[n-1]}(y) = \tfrac12$ proviene de dos valores de $x$ (uno en cada mitad).

El valor de frontera $x = \tfrac12$ satisface $f^{[n]}(\tfrac12) = f^{[n-1]}(1) = 0 \ne \tfrac12,$ así que no se pierde ninguna solución, lo que da $g(n) = 2\,g(n-1).$

Como $g(1) = 2,$ concluimos que $g(2005) = 2^{2005}.$

Así, la respuesta correcta es E.

Let $g(n)$ count the solutions of $f^{[n]}(x) = \tfrac{1}{2}$ in $[0, 1].$ Since $f$ maps each of the two halves $[0, \tfrac12]$ and $[\tfrac12, 1]$ onto all of $[0, 1],$ every solution of $f^{[n-1]}(y) = \tfrac12$ comes from two values of $x$ (one in each half).

The boundary value $x = \tfrac12$ satisfies $f^{[n]}(\tfrac12) = f^{[n-1]}(1) = 0 \ne \tfrac12,$ so no solutions are lost, giving $g(n) = 2\,g(n-1).$

Since $g(1) = 2,$ we conclude $g(2005) = 2^{2005}.$

Thus, the correct answer is E.

21.

¿Cuántas ternas ordenadas de enteros $(a, b, c),$ con $a \ge 2,$ $b \ge 1,$ y $c \ge 0,$ satisfacen a la vez $\log_a b = c^{2005}$ y $a + b + c = 2005$ ?

How many ordered triples of integers $(a, b, c),$ with $a \ge 2,$ $b \ge 1,$ and $c \ge 0,$ satisfy both $\log_a b = c^{2005}$ and $a + b + c = 2005?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:logaritmo Ecuación diofántica acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2440

Pista pequeña:

Reescribe la primera condición como $b = a^{\left(c^{2005}\right)}$ .

Rewrite the first condition as $b = a^{\left(c^{2005}\right)}$

Pista grande:

Si $c \ge 2,$ entonces $b$ es astronómicamente mayor que $2005;$ solo $c = 0$ y $c = 1$ pueden funcionar.

If $c \ge 2,$ then $b$ is astronomically larger than $2005;$ only $c = 0$ and $c = 1$ can work

Solución:

La condición $\log_a b = c^{2005}$ significa $b = a^{\left(c^{2005}\right)}.$

Si $c \ge 2,$ entonces $b = a^{\left(c^{2005}\right)} \ge 2^{\left(2^{2005}\right)},$ lo que supera enormemente a $2005,$ así que $a + b + c = 2005$ es imposible.

Para $c = 0:$ $b = a^0 = 1,$ así que $a + 1 + 0 = 2005$ da $(a, b, c) = (2004, 1, 0).$ Para $c = 1:$ $b = a^1 = a,$ así que $2a + 1 = 2005$ da $(a, b, c) = (1002, 1002, 1).$

Hay $2$ ternas así.

Así, la respuesta correcta es C.

The condition $\log_a b = c^{2005}$ means $b = a^{\left(c^{2005}\right)}.$

If $c \ge 2,$ then $b = a^{\left(c^{2005}\right)} \ge 2^{\left(2^{2005}\right)},$ which vastly exceeds $2005,$ so $a + b + c = 2005$ is impossible.

For $c = 0:$ $b = a^0 = 1,$ so $a + 1 + 0 = 2005$ gives $(a, b, c) = (2004, 1, 0).$ For $c = 1:$ $b = a^1 = a,$ so $2a + 1 = 2005$ gives $(a, b, c) = (1002, 1002, 1).$

There are $2$ such triples.

Thus, the correct answer is C.

22.

Una caja rectangular $P$ está inscrita en una esfera de radio $r.$ El área de la superficie de $P$ es $384,$ y la suma de las longitudes de sus $12$ aristas es $112.$ ¿Cuánto vale $r$ ?

A rectangular box $P$ is inscribed in a sphere of radius $r.$ The surface area of $P$ is $384,$ and the sum of the lengths of its $12$ edges is $112.$ What is $r?$

$8$

$10$

$12$

$14$

$16$

Conceptos:prisma rectangular esfera manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Sean las dimensiones $x, y, z.$ La suma de aristas da $x + y + z$ y el área de la superficie da $2xy + 2yz + 2xz$ .

Let the dimensions be $x, y, z.$ The edge sum gives $x + y + z$ and the surface area gives $2xy + 2yz + 2xz$

Pista grande:

El diámetro de la esfera es la diagonal espacial, por lo tanto $(2r)^2$ $= x^2 + y^2 + z^2$ $= (x+y+z)^2$ $- (2xy + 2yz + 2xz)$ .

The sphere’s diameter is the space diagonal: $(2r)^2$ $= x^2 + y^2 + z^2$ $= (x+y+z)^2$ $- (2xy + 2yz + 2xz)$

Solución:

Sean las dimensiones $x, y, z.$ Las $12$ aristas dan $4(x + y + z) = 112,$ así que $x + y + z = 28,$ y el área de la superficie da $2xy + 2yz + 2xz = 384.$

La diagonal espacial es un diámetro de la esfera, así que $\begin{aligned} &(2r)^2 = x^2 + y^2 + z^2 \\ &= (x + y + z)^2 \\ &\quad {}- (2xy + 2yz + 2xz) \\ &= 28^2 - 384 = 400. \end{aligned}$

Por lo tanto $2r = 20$ y $r = 10.$

Así, la respuesta correcta es B.

Let the dimensions be $x, y, z.$ The $12$ edges give $4(x + y + z) = 112,$ so $x + y + z = 28,$ and the surface area gives $2xy + 2yz + 2xz = 384.$

The space diagonal is a diameter of the sphere, so $\begin{aligned} &(2r)^2 = x^2 + y^2 + z^2 \\ &= (x + y + z)^2 \\ &\quad {}- (2xy + 2yz + 2xz) \\ &= 28^2 - 384 = 400. \end{aligned}$

Thus $2r = 20$ and $r = 10.$

Thus, the correct answer is B.

23.

Se eligen al azar dos números distintos $a$ y $b$ del conjunto $\{2, 2^2, 2^3, \ldots, 2^{25}\}.$ ¿Cuál es la probabilidad de que $\log_a b$ sea un entero?

Two distinct numbers $a$ and $b$ are chosen randomly from the set $\{2, 2^2, 2^3, \ldots, 2^{25}\}.$ What is the probability that $\log_a b$ is an integer?

$\dfrac{2}{25}$

$\dfrac{31}{300}$

$\dfrac{13}{100}$

$\dfrac{7}{50}$

$\dfrac{1}{2}$

Conceptos:divisibilidad funciones piso y techo probabilidad básica

Nivel de dificultad: 2330

Pista pequeña:

Escribe $a = 2^j$ y $b = 2^k,$ de modo que $\log_a b = \dfrac{k}{j}$ .

Write $a = 2^j$ and $b = 2^k,$ so $\log_a b = \dfrac{k}{j}$

Pista grande:

Para cada $j,$ cuenta los múltiplos de $j$ entre $1, \ldots, 25$ distintos del propio $j$ , es decir, $\left\lfloor \tfrac{25}{j} \right\rfloor - 1$ .

For each $j,$ count the multiples of $j$ among $1, \ldots, 25$ other than $j$ itself, namely $\left\lfloor \tfrac{25}{j} \right\rfloor - 1$

Solución:

Sea $a = 2^j$ y $b = 2^k.$ Entonces $\log_a b = \dfrac{k}{j},$ que es entero exactamente cuando $k$ es múltiplo de $j.$

Para cada $j,$ el número de $k \ne j$ válidos en $\{1, \ldots, 25\}$ es $\left\lfloor \tfrac{25}{j} \right\rfloor - 1.$ Sumando sobre $j$ se obtiene $\begin{aligned} &24 + 11 + 7 + 5 + 4 + 3 + 2 \\ &\quad {}+ 2 + 4 \cdot 1 = 62 \end{aligned}$ pares ordenados $(a, b).$

Como hay $25 \cdot 24 = 600$ pares ordenados de elementos distintos, la probabilidad es $\dfrac{62}{600} = \dfrac{31}{300}.$

Así, la respuesta correcta es B.

Let $a = 2^j$ and $b = 2^k.$ Then $\log_a b = \dfrac{k}{j},$ which is an integer exactly when $k$ is a multiple of $j.$

For each $j,$ the number of valid $k \ne j$ in $\{1, \ldots, 25\}$ is $\left\lfloor \tfrac{25}{j} \right\rfloor - 1.$ Summing over $j$ gives $\begin{aligned} &24 + 11 + 7 + 5 + 4 + 3 + 2 \\ &\quad {}+ 2 + 4 \cdot 1 = 62 \end{aligned}$ ordered pairs $(a, b).$

Since there are $25 \cdot 24 = 600$ ordered pairs of distinct elements, the probability is $\dfrac{62}{600} = \dfrac{31}{300}.$

Thus, the correct answer is B.

24.

Sea $P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3).$ ¿Para cuántos polinomios $Q(x)$ existe un polinomio $R(x)$ de grado $3$ tal que $P(Q(x)) = P(x) \cdot R(x)$ ?

Let $P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3).$ For how many polynomials $Q(x)$ does there exist a polynomial $R(x)$ of degree $3$ such that $P(Q(x)) = P(x) \cdot R(x)?$

$19$

$22$

$24$

$27$

$32$

Conceptos:polinomio análisis por casos

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

Compara los grados: $P(Q(x))$ tiene grado $3\deg Q$ y $P(x)R(x)$ tiene grado $6,$ así que $\deg Q = 2$ .

Compare degrees: $P(Q(x))$ has degree $3\deg Q$ and $P(x)R(x)$ has degree $6,$ so $\deg Q = 2$

Pista grande:

Para $x = 1, 2, 3,$ el lado derecho es $0,$ así que cada uno de $Q(1), Q(2), Q(3)$ está en $\{1, 2, 3\};$ descarta las ternas que dan grado menor que $2$ .

For $x = 1, 2, 3,$ the right side is $0,$ so each of $Q(1), Q(2), Q(3)$ lies in $\{1, 2, 3\};$ discard the triples giving degree less than $2$

Solución:

Como $P(x)R(x)$ tiene grado $6$ y $P(Q(x))$ tiene grado $3\deg Q,$ necesitamos $\deg Q = 2.$ Un polinomio cuadrático $Q$ queda determinado por la terna ordenada $(Q(1), Q(2), Q(3)).$

En $x = 1, 2, 3$ el lado derecho se anula, así que $P(Q(x)) = 0,$ lo que obliga a que cada uno de $Q(1), Q(2), Q(3)$ esté en $\{1, 2, 3\}.$ Eso da $27$ ternas.

Cinco de ellas dan un polinomio de grado menor que $2:$ las constantes de $(1,1,1), (2,2,2), (3,3,3)$ y las lineales $Q(x) = x$ de $(1,2,3)$ y $Q(x) = 4 - x$ de $(3,2,1).$ Las otras $27 - 5 = 22$ ternas no son colineales y dan polinomios cuadráticos genuinos.

Así, la respuesta correcta es B.

Since $P(x)R(x)$ has degree $6$ and $P(Q(x))$ has degree $3\deg Q,$ we need $\deg Q = 2.$ A quadratic $Q$ is determined by the ordered triple $(Q(1), Q(2), Q(3)).$

At $x = 1, 2, 3$ the right side vanishes, so $P(Q(x)) = 0,$ forcing each of $Q(1), Q(2), Q(3)$ into $\{1, 2, 3\}.$ That gives $27$ triples.

Five of them give a polynomial of degree less than $2:$ the constants from $(1,1,1), (2,2,2), (3,3,3)$ and the linear $Q(x) = x$ from $(1,2,3)$ and $Q(x) = 4 - x$ from $(3,2,1).$ The other $27 - 5 = 22$ triples are non-collinear and yield genuine quadratics.

Thus, the correct answer is B.

25.

Sea $S$ el conjunto de todos los puntos con coordenadas $(x, y, z),$ donde $x,$ $y,$ y $z$ se eligen cada uno del conjunto $\{0, 1, 2\}.$ ¿Cuántos triángulos equiláteros tienen todos sus vértices en $S$ ?

Let $S$ be the set of all points with coordinates $(x, y, z),$ where $x,$ $y,$ and $z$ are each chosen from the set $\{0, 1, 2\}.$ How many equilateral triangles have all their vertices in $S?$

$72$

$76$

$80$

$84$

$88$

Conceptos:triángulo equilátero Geometría 3D análisis por casos

Nivel de dificultad: 2640

Pista pequeña:

Un triángulo equilátero en esta cuadrícula debe tener los tres lados iguales, así que cada lado es una diagonal de cara o un segmento inclinado específico.

An equilateral triangle in this grid must have all three sides equal, so each side is a face diagonal or a specific slanted segment

Pista grande:

Cuenta por separado los triángulos cuyos lados son diagonales de caras de cubos unitarios, diagonales de caras del cubo grande, y segmentos de punto medio de arista a punto medio de arista de longitud $\sqrt{6}$ .

Count separately the triangles whose sides are unit-cube face diagonals, big-cube face diagonals, and edge-midpoint-to-edge-midpoint segments of length $\sqrt{6}$

Solución:

Los tres lados iguales de un triángulo así deben tener todos la misma longitud. Revisando las posibles longitudes al cuadrado en la cuadrícula $3 \times 3 \times 3$ , solo aparecen tres familias de lado.

Diagonales de cara de un cubo unitario (longitud $\sqrt2$ ): cada uno de los $8$ cubos unitarios aporta $8$ triángulos, uno en cada esquina, para $8 \cdot 8 = 64.$

Diagonales de cara del cubo $2 \times 2 \times 2$ (longitud $2\sqrt2$ ): las tres caras que se juntan en un vértice forman un triángulo, lo que da $8$ triángulos.

Segmentos entre puntos medios de aristas (longitud $\sqrt6,$ que unen los puntos medios de dos aristas): cada uno de los $12$ puntos medios de arista es vértice de dos de esos triángulos, para $\dfrac{12 \cdot 2}{3} = 8.$

El total es $64 + 8 + 8 = 80.$

Así, la respuesta correcta es C.

The three equal sides of such a triangle must all have the same length. Checking the possible squared lengths in the $3 \times 3 \times 3$ grid, only three families of side occur.

Face diagonals of a unit cube (length $\sqrt2$ ): each of the $8$ unit cubes contributes $8$ triangles, one at each corner, for $8 \cdot 8 = 64.$

Face diagonals of the $2 \times 2 \times 2$ cube (length $2\sqrt2$ ): the three faces meeting at a vertex form one triangle, giving $8$ triangles.

Edge-midpoint segments (length $\sqrt6,$ joining midpoints of two edges): each of the $12$ edge midpoints is a vertex of two such triangles, for $\dfrac{12 \cdot 2}{3} = 8.$

The total is $64 + 8 + 8 = 80.$

Thus, the correct answer is C.