Question

Para todos los enteros $n$ mayores que $1,$ define $a_n=\dfrac{1}{\log_n 2002}.$ Sea $b=a_2+a_3+a_4+a_5$ y $c=a_{10}+a_{11}+a_{12}+a_{13}+a_{14}.$ Entonces $b-c$ es igual a

For all integers $n$ greater than $1,$ define $a_n=\dfrac{1}{\log_n 2002}.$ Let $b=a_2+a_3+a_4+a_5$ and $c=a_{10}+a_{11}+a_{12}+a_{13}+a_{14}.$ Then $b-c$ equals

$-2$

$-1$

$\dfrac{1}{2002}$

$\dfrac{1}{1001}$

$\dfrac{1}{2}$

Solución:

Por cambio de base, $a_n=\dfrac{1}{\log_n 2002}=\log_{2002} n.$ Así $\begin{gathered} b-c \\ {}=\log_{2002}\frac{2\cdot3\cdot4\cdot5}{10\cdot11\cdot12\cdot13\cdot14}. \end{gathered}$

La fracción es igual a $\dfrac{120}{240240}=\dfrac{1}{2002},$ así que $b-c=\log_{2002}\dfrac{1}{2002}=-1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

By change of base, $a_n=\dfrac{1}{\log_n 2002}=\log_{2002} n.$ So $\begin{gathered} b-c \\ {}=\log_{2002}\frac{2\cdot3\cdot4\cdot5}{10\cdot11\cdot12\cdot13\cdot14}. \end{gathered}$

The fraction equals $\dfrac{120}{240240}=\dfrac{1}{2002},$ so $b-c=\log_{2002}\dfrac{1}{2002}=-1.$

Thus, the correct answer is B.

2002 AMC 12B Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años