Question

Considera polinomios $P(x)$ de grado a lo sumo $3,$ cada uno de cuyos coeficientes es un elemento de $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}.$ ¿Cuántos de esos polinomios satisfacen $P(-1)=-9$ ?

Consider polynomials $P(x)$ of degree at most $3,$ each of whose coefficients is an element of $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}.$ How many such polynomials satisfy $P(-1)=-9?$

$110$

$143$

$165$

$220$

$286$

Solución:

Escribe $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ con cada uno de $a,b,c,d$ en $\{0,\ldots,9\}.$ La condición es $-a+b-c+d=-9.$

Sea $a'=9-a$ y $c'=9-c,$ ambos en $[0,9].$ Entonces $a'+b+c'+d=9.$ Por el método de estrellas y barras, el número de soluciones no negativas es $\binom{9+3}{3}=\binom{12}{3}=220,$ y cada una satisface automáticamente las cotas superiores, ya que la suma es $9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Write $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ with each of $a,b,c,d$ in $\{0,\ldots,9\}.$ The condition is $-a+b-c+d=-9.$

Let $a'=9-a$ and $c'=9-c,$ both in $[0,9].$ Then $a'+b+c'+d=9.$ By stars and bars the number of nonnegative solutions is $\binom{9+3}{3}=\binom{12}{3}=220,$ and each automatically satisfies the upper bounds since the sum is $9.$

Thus, the correct answer is D.

2018 AMC 12B Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años