Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

Soluciones del 2018 AMC 12B

Desplázate hacia abajo para ver las soluciones preparadas profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh, imprime las soluciones en PDF, consulta la clave de respuestas, o haz el examen cronometrado completo.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

1.

Kate hornea una bandeja de pan de maíz de 2020 pulgadas por 1818 pulgadas. El pan de maíz se corta en trozos que miden 22 pulgadas por 22 pulgadas. ¿Cuántos trozos de pan de maíz contiene la bandeja?
Kate bakes a 2020-inch by 1818-inch pan of cornbread. The cornbread is cut into pieces that measure 22 inches by 22 inches. How many pieces of cornbread does the pan contain?
9090
100100
180180
200200
360360
Conceptos:área
Nivel de dificultad: 840
Pista pequeña:
Divide el área total de la bandeja entre el área de un trozo.
Divide the total area of the pan by the area of one piece
Pista grande:
La bandeja tiene área 20×1820\times18 y cada trozo tiene área 2×22\times2.
The pan has area 20×1820\times18 and each piece has area 2×22\times2
Solución:
La bandeja tiene un área de 20⋅18=36020\cdot18=360 pulgadas cuadradas, y cada trozo tiene un área de 2⋅2=42\cdot2=4 pulgadas cuadradas.
El número de trozos es 3604=90. \dfrac{360}{4}=90.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
The pan has area 20⋅18=36020\cdot18=360 square inches, and each piece has area 2⋅2=42\cdot2=4 square inches.
The number of pieces is 3604=90. \dfrac{360}{4}=90.
Thus, the correct answer is A.

2.

Sam condujo 9696 millas en 9090 minutos. Su velocidad promedio durante los primeros 3030 minutos fue de 6060 mph (millas por hora), y su velocidad promedio durante los segundos 3030 minutos fue de 6565 mph. ¿Cuál fue su velocidad promedio, en mph, durante los últimos 3030 minutos?
Sam drove 9696 miles in 9090 minutes. His average speed during the first 3030 minutes was 6060 mph (miles per hour), and his average speed during the second 3030 minutes was 6565 mph. What was his average speed, in mph, during the last 3030 minutes?
6464
6565
6666
6767
6868
Conceptos:distancia, velocidad y tiempo
Nivel de dificultad: 1080
Pista pequeña:
Halla la distancia recorrida en cada uno de los primeros dos segmentos de 3030 minutos.
Find the distance covered in each of the first two 3030-minute segments
Pista grande:
La distancia restante se recorre en 12\tfrac12 hora; divide para obtener la velocidad.
The remaining distance is covered in 12\tfrac12 hour; divide to get the speed
Solución:
En los primeros 3030 minutos Sam recorrió 60⋅12=3060\cdot\tfrac12=30 millas, y en los segundos recorrió 65⋅12=32.565\cdot\tfrac12=32.5 millas.
En los últimos 3030 minutos recorrió 96−30−32.5=33.596-30-32.5=33.5 millas, de modo que la velocidad fue 33.512=67 mi/h. \dfrac{33.5}{\frac{1}{2}}=67\text{ mi/h}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
In the first 3030 minutes Sam covered 60⋅12=3060\cdot\tfrac12=30 miles, and in the second he covered 65⋅12=32.565\cdot\tfrac12=32.5 miles.
The last 3030 minutes covered 96−30−32.5=33.596-30-32.5=33.5 miles, so the speed was 33.512=67 mph. \dfrac{33.5}{\frac{1}{2}}=67\text{ mph}.
Thus, the correct answer is D.

3.

Una recta de pendiente 22 corta a una recta de pendiente 66 en el punto (40,30).(40, 30). ¿Cuál es la distancia entre las intersecciones con el eje xx de estas dos rectas?
A line with slope 22 intersects a line with slope 66 at the point (40,30).(40, 30). What is the distance between the xx-intercepts of these two lines?
55
1010
2020
2525
5050
Conceptos:ecuación linealpendientegeometría analítica
Nivel de dificultad: 1240
Pista pequeña:
Escribe cada recta en la forma punto-pendiente pasando por (40,30)(40,30).
Write each line in point-slope form through (40,30)(40,30)
Pista grande:
Haz y=0y=0 en cada ecuación para hallar su intersección con el eje xx.
Set y=0y=0 in each equation to find its xx-intercept
Solución:
La recta de pendiente 22 es y−30=2(x−40);y-30=2(x-40); al hacer y=0y=0 se obtiene x=25.x=25. La recta de pendiente 66 es y−30=6(x−40);y-30=6(x-40); al hacer y=0y=0 se obtiene x=35.x=35.
La distancia entre las intersecciones es ∣35−25∣=10.|35-25|=10.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
The line of slope 22 is y−30=2(x−40);y-30=2(x-40); setting y=0y=0 gives x=25.x=25. The line of slope 66 is y−30=6(x−40);y-30=6(x-40); setting y=0y=0 gives x=35.x=35.
The distance between the intercepts is ∣35−25∣=10.|35-25|=10.
Thus, the correct answer is B.

4.

Un círculo tiene una cuerda de longitud 10,10, y la distancia desde el centro del círculo a la cuerda es 5.5. ¿Cuál es el área del círculo?
A circle has a chord of length 10,10, and the distance from the center of the circle to the chord is 5.5. What is the area of the circle?
25π25\pi
50π50\pi
75π75\pi
100π100\pi
125π125\pi
Conceptos:cuerdaTeorema de Pitágorasárea del círculo
Nivel de dificultad: 1310
Pista pequeña:
El radio, la mitad de la cuerda y la distancia a la cuerda forman un triángulo rectángulo.
The radius, half the chord, and the distance to the chord form a right triangle
Pista grande:
Con catetos 55 y 5,5, el radio cumple r2=52+52r^2=5^2+5^2.
With legs 55 and 5,5, the radius satisfies r2=52+52r^2=5^2+5^2
Solución:
Al trazar una perpendicular desde el centro a la cuerda, esta queda bisecada, formando un triángulo rectángulo con catetos 55 (la mitad de la cuerda) y 55 (la distancia), e hipotenusa r.r.
Entonces r2=52+52=50,r^2=5^2+5^2=50, por lo que el área es πr2=50π.\pi r^2=50\pi.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Dropping a perpendicular from the center to the chord bisects it, forming a right triangle with legs 55 (half the chord) and 55 (the distance), and hypotenuse r.r.
Then r2=52+52=50,r^2=5^2+5^2=50, so the area is πr2=50π.\pi r^2=50\pi.
Thus, the correct answer is B.

5.

¿Cuántos subconjuntos de {2,3,4,5,6,7,8,9}\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} contienen al menos un número primo?
How many subsets of {2,3,4,5,6,7,8,9}\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} contain at least one prime number?
128128
192192
224224
240240
256256
Conceptos:conteo complementariosubconjuntos
Nivel de dificultad: 1390
Pista pequeña:
Cuenta todos los subconjuntos y luego resta los que no contienen ningún número primo.
Count all subsets, then subtract those containing no prime number
Pista grande:
Los no primos son {4,6,8,9},\{4,6,8,9\}, así que los subconjuntos sin ningún primo son subconjuntos de ese conjunto.
The non-primes are {4,6,8,9},\{4,6,8,9\}, so subsets with no prime number are subsets of that set
Solución:
El conjunto tiene 88 elementos, lo que da 28=2562^8=256 subconjuntos. Los subconjuntos sin ningún primo usan solo los cuatro no primos {4,6,8,9},\{4,6,8,9\}, y hay 24=162^4=16 de ellos.
Así que el número de los que contienen al menos un primo es 256−16=240.256-16=240.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The set has 88 elements, giving 28=2562^8=256 subsets. The subsets with no prime use only the four non-primes {4,6,8,9},\{4,6,8,9\}, and there are 24=162^4=16 of these.
So the number containing at least one prime is 256−16=240.256-16=240.
Thus, the correct answer is D.

6.

Supongamos que se pueden comprar SS latas de refresco en una máquina expendedora por QQ monedas de veinticinco centavos. ¿Cuál de las siguientes expresiones describe el número de latas de refresco que se pueden comprar con DD dólares, donde 11 dólar equivale a 44 monedas de veinticinco centavos?
Suppose SS cans of soda can be purchased from a vending machine for QQ quarters. Which of the following expressions describes the number of cans of soda that can be purchased for DD dollars, where 11 dollar is worth 44 quarters?
4DQS\dfrac{4DQ}{S}
4DSQ\dfrac{4DS}{Q}
4QDS\dfrac{4Q}{DS}
DQ4S\dfrac{DQ}{4S}
DS4Q\dfrac{DS}{4Q}
Conceptos:razón y proporciónconversión de unidades
Nivel de dificultad: 1430
Pista pequeña:
Una lata cuesta QS\tfrac{Q}{S} monedas de veinticinco centavos.
One can costs QS\tfrac{Q}{S} quarters
Pista grande:
Convierte DD dólares en 4D4D monedas de veinticinco centavos y luego divide entre el precio por lata.
Convert DD dollars to 4D4D quarters, then divide by the price per can
Solución:
Una lata cuesta QS\tfrac{Q}{S} monedas de veinticinco centavos, que son Q4S\tfrac{Q}{4S} dólares. El número de latas que se pueden comprar con DD dólares es
DQ4S=4DSQ. \dfrac{D}{\tfrac{Q}{4S}}=\dfrac{4DS}{Q}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
One can costs QS\tfrac{Q}{S} quarters, which is Q4S\tfrac{Q}{4S} dollars. The number of cans that DD dollars can buy is
DQ4S=4DSQ. \dfrac{D}{\tfrac{Q}{4S}}=\dfrac{4DS}{Q}.
Thus, the correct answer is B.

7.

¿Cuál es el valor de log⁡37⋅log⁡59⋅log⁡711⋅log⁡913⋯log⁡2125⋅log⁡2327? \begin{gathered} \log_3 7\cdot\log_5 9\cdot\log_7 11 \\ {}\cdot\log_9 13\cdots\log_{21} 25\cdot\log_{23} 27? \end{gathered}
What is the value of log⁡37⋅log⁡59⋅log⁡711⋅log⁡913⋯log⁡2125⋅log⁡2327? \begin{gathered} \log_3 7\cdot\log_5 9\cdot\log_7 11 \\ {}\cdot\log_9 13\cdots\log_{21} 25\cdot\log_{23} 27? \end{gathered}
33
3log⁡7233\log_7 23
66
99
1010
Conceptos:logaritmotelescópica
Nivel de dificultad: 1580
Pista pequeña:
Aplica la fórmula de cambio de base log⁡ab=log⁡blog⁡a\log_a b=\dfrac{\log b}{\log a}.
Apply the change-of-base formula log⁡ab=log⁡blog⁡a\log_a b=\dfrac{\log b}{\log a}
Pista grande:
Sepáralo en dos cadenas telescópicas: bases 3,7,11,…3,7,11,\dots y bases 5,9,13,…5,9,13,\dots.
Separate into two telescoping chains: bases 3,7,11,…3,7,11,\dots and bases 5,9,13,…5,9,13,\dots
Solución:
Los factores se separan en dos cadenas telescópicas. Los factores en posición impar forman log⁡37⋅log⁡711⋅log⁡1115⋯log⁡2327=log⁡327=3, \begin{gathered} \log_3 7\cdot\log_7 11 \\ {}\cdot\log_{11} 15\cdots\log_{23} 27 \\ =\log_3 27=3, \end{gathered} y los factores en posición par forman log⁡59⋅log⁡913⋯log⁡2125=log⁡525=2. \begin{gathered} \log_5 9\cdot\log_9 13\cdots\log_{21} 25 \\ =\log_5 25=2. \end{gathered}
El producto es 3⋅2=6.3\cdot2=6.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
The factors split into two telescoping chains. The odd-position factors form log⁡37⋅log⁡711⋅log⁡1115⋯log⁡2327=log⁡327=3, \begin{gathered} \log_3 7\cdot\log_7 11 \\ {}\cdot\log_{11} 15\cdots\log_{23} 27 \\ =\log_3 27=3, \end{gathered} and the even-position factors form log⁡59⋅log⁡913⋯log⁡2125=log⁡525=2. \begin{gathered} \log_5 9\cdot\log_9 13\cdots\log_{21} 25 \\ =\log_5 25=2. \end{gathered}
The product is 3⋅2=6.3\cdot2=6.
Thus, the correct answer is C.

8.

El segmento AB‾\overline{AB} es un diámetro de un círculo con AB=24.AB=24. El punto C,C, distinto de AA o B,B, está sobre el círculo. A medida que el punto CC se mueve alrededor del círculo, el baricentro (centro de masa) de △ABC\triangle ABC traza una curva cerrada a la que le faltan dos puntos. Redondeando al entero positivo más cercano, ¿cuál es el área de la región acotada por esta curva?
Line segment AB‾\overline{AB} is a diameter of a circle with AB=24.AB=24. Point C,C, not equal to AA or B,B, lies on the circle. As point CC moves around the circle, the centroid (center of mass) of △ABC\triangle ABC traces out a closed curve missing two points. To the nearest positive integer, what is the area of the region bounded by this curve?
2525
3838
5050
6363
7575
Conceptos:baricentrohomoteciaárea del círculo
Nivel de dificultad: 1600
Pista pequeña:
Sea OO el centro; el baricentro se encuentra a un tercio del camino de OO hacia CC.
Let OO be the center; the centroid lies one-third of the way from OO toward CC
Pista grande:
A medida que CC se mueve en el círculo de radio 12,12, el baricentro traza un círculo de radio 13⋅12\tfrac13\cdot12.
As CC moves on the circle of radius 12,12, the centroid traces a circle of radius 13⋅12\tfrac13\cdot12
Solución:
Sea OO el centro del círculo. El baricentro de △ABC\triangle ABC es el promedio de A,A, B,B, y C;C; como OO es el punto medio de AB‾,\overline{AB}, el baricentro se encuentra a un tercio del camino de OO a C.C.
A medida que CC traza el círculo de radio 12,12, el baricentro traza un círculo de radio 13⋅12=4.\tfrac13\cdot12=4. Su área es 16π≈50.16\pi\approx50.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Let OO be the center of the circle. The centroid of △ABC\triangle ABC is the average of A,A, B,B, and C;C; since OO is the midpoint of AB‾,\overline{AB}, the centroid lies one-third of the way from OO to C.C.
As CC traces the circle of radius 12,12, the centroid traces a circle of radius 13⋅12=4.\tfrac13\cdot12=4. Its area is 16π≈50.16\pi\approx50.
Thus, the correct answer is C.

9.

¿Cuánto vale ∑i=1100∑j=1100(i+j)? \sum_{i=1}^{100}\sum_{j=1}^{100}(i+j)?
What is ∑i=1100∑j=1100(i+j)? \sum_{i=1}^{100}\sum_{j=1}^{100}(i+j)?
100,100100{,}100
500,500500{,}500
505,000505{,}000
1,001,0001{,}001{,}000
1,010,0001{,}010{,}000
Conceptos:sumatoriasucesión aritmética
Nivel de dificultad: 1620
Pista pequeña:
Separa la suma en ∑∑i+∑∑j\sum\sum i+\sum\sum j.
Split the sum into ∑∑i+∑∑j\sum\sum i+\sum\sum j
Pista grande:
La suma de los primeros 100100 enteros positivos es 50505050.
The sum of the first 100100 positive integers is 50505050
Solución:
Separando la suma, ∑i=1100∑j=1100(i+j)=∑i=1100∑j=1100i+∑i=1100∑j=1100j=100∑i=1100i+100∑j=1100j. \begin{gathered} \sum_{i=1}^{100}\sum_{j=1}^{100}(i+j) \\ =\sum_{i=1}^{100}\sum_{j=1}^{100}i \\ {}+\sum_{i=1}^{100}\sum_{j=1}^{100}j \\ =100\sum_{i=1}^{100}i \\ {}+100\sum_{j=1}^{100}j. \end{gathered}
Como ∑k=1100k=5050,\sum_{k=1}^{100}k=5050, esto es igual a 100⋅5050100\cdot5050 +100⋅5050+100\cdot5050 =1,010,000.=1{,}010{,}000.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Splitting the sum, ∑i=1100∑j=1100(i+j)=∑i=1100∑j=1100i+∑i=1100∑j=1100j=100∑i=1100i+100∑j=1100j. \begin{gathered} \sum_{i=1}^{100}\sum_{j=1}^{100}(i+j) \\ =\sum_{i=1}^{100}\sum_{j=1}^{100}i \\ {}+\sum_{i=1}^{100}\sum_{j=1}^{100}j \\ =100\sum_{i=1}^{100}i \\ {}+100\sum_{j=1}^{100}j. \end{gathered}
Since ∑k=1100k=5050,\sum_{k=1}^{100}k=5050, this equals 100⋅5050100\cdot5050 +100⋅5050+100\cdot5050 =1,010,000.=1{,}010{,}000.
Thus, the correct answer is E.

10.

Una lista de 20182018 enteros positivos tiene una moda única, que aparece exactamente 1010 veces. ¿Cuál es el menor número de valores distintos que pueden aparecer en la lista?
A list of 20182018 positive integers has a unique mode, which occurs exactly 1010 times. What is the least number of distinct values that can occur in the list?
202202
223223
224224
225225
234234
Conceptos:modaprincipio del palomar
Nivel de dificultad: 1700
Pista pequeña:
Las 2018−10=20082018-10=2008 entradas que no son la moda pueden aparecer cada una a lo sumo 99 veces.
The 2018−10=20082018-10=2008 non-mode entries can each appear at most 99 times
Pista grande:
Halla el menor número de valores distintos distintos de la moda que se necesitan, y luego suma 11 por la moda.
Find the fewest distinct non-mode values needed, then add 11 for the mode
Solución:
La moda usa 1010 de las entradas, dejando 2008.2008. Como la moda es única, cualquier otro valor aparece a lo sumo 99 veces, por lo que se necesitan al menos ⌈20089⌉=224\left\lceil\tfrac{2008}{9}\right\rceil=224 valores distintos que no sean la moda.
Al añadir la moda se obtiene 224+1=225.224+1=225. Esto es alcanzable: usa 99 copias de cada uno de 11 hasta 223,223, diez copias de 224,224, y una copia de 225.225.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The mode uses 1010 of the entries, leaving 2008.2008. Because the mode is unique, every other value appears at most 99 times, so at least ⌈20089⌉=224\left\lceil\tfrac{2008}{9}\right\rceil=224 distinct non-mode values are needed.
Adding the mode gives 224+1=225.224+1=225. This is achievable: use 99 copies each of 11 through 223,223, ten copies of 224,224, and one copy of 225.225.
Thus, the correct answer is D.

11.

Una caja cerrada con base cuadrada se va a envolver con una hoja cuadrada de papel de regalo. La caja se coloca centrada sobre el papel de regalo, con los vértices de la base situados sobre las líneas medias de la hoja cuadrada de papel, como se muestra en la figura de la izquierda. Las cuatro esquinas del papel de regalo se doblan hacia arriba sobre los lados y se juntan para encontrarse en el centro de la parte superior de la caja, el punto AA en la figura de la derecha. La caja tiene longitud de base ww y altura h.h. ¿Cuál es el área de la hoja de papel de regalo?
A closed box with a square base is to be wrapped with a square sheet of wrapping paper. The box is centered on the wrapping paper with the vertices of the base lying on the midlines of the square sheet of paper, as shown in the figure on the left. The four corners of the wrapping paper are to be folded up over the sides and brought together to meet at the center of the top of the box, point AA in the figure on the right. The box has base length ww and height h.h. What is the area of the sheet of wrapping paper?
2(w+h)22(w+h)^2
(w+h)22\dfrac{(w+h)^2}{2}
2w2+4wh2w^2+4wh
2w22w^2
w2hw^2h
Conceptos:triángulo rectángulo especialárea
Nivel de dificultad: 1760
Pista pequeña:
La distancia desde una esquina de la hoja hasta su centro es w2+h+w2\tfrac{w}{2}+h+\tfrac{w}{2}.
The distance from a corner of the sheet to its center is w2+h+w2\tfrac{w}{2}+h+\tfrac{w}{2}
Pista grande:
Un lado de la hoja cuadrada es 2\sqrt2 veces esa distancia de esquina a centro.
A side of the square sheet is 2\sqrt2 times that corner-to-center distance
Solución:
Siguiendo un doblez desde una esquina del papel hasta el centro de la parte superior de la caja, la distancia desde una esquina de la hoja hasta su centro es w2+h+w2=w+h. \dfrac{w}{2}+h+\dfrac{w}{2}=w+h.
Ese segmento es un cateto de un triángulo 4545-4545-9090 cuya hipotenusa es un lado completo de la hoja cuadrada, así que la longitud del lado es 2 (w+h).\sqrt2\,(w+h).
El área de la hoja es (2 (w+h))2=2(w+h)2.\left(\sqrt2\,(w+h)\right)^2=2(w+h)^2.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Following a fold from a corner of the paper to the center of the box top, the distance from a corner of the sheet to its center is w2+h+w2=w+h. \dfrac{w}{2}+h+\dfrac{w}{2}=w+h.
That segment is a leg of a 4545-4545-9090 triangle whose hypotenuse is a full side of the square sheet, so the side length is 2 (w+h).\sqrt2\,(w+h).
The area of the sheet is (2 (w+h))2=2(w+h)2.\left(\sqrt2\,(w+h)\right)^2=2(w+h)^2.
Thus, the correct answer is A.

12.

El lado AB‾\overline{AB} del △ABC\triangle ABC tiene longitud 10.10. La bisectriz del ángulo AA corta a BC‾\overline{BC} en D,D, y CD=3.CD=3. El conjunto de todos los valores posibles de ACAC es un intervalo abierto (m,n).(m, n). ¿Cuánto vale m+nm+n?
Side AB‾\overline{AB} of △ABC\triangle ABC has length 10.10. The bisector of angle AA meets BC‾\overline{BC} at D,D, and CD=3.CD=3. The set of all possible values of ACAC is an open interval (m,n).(m, n). What is m+n?m+n?
1616
1717
1818
1919
2020
Conceptos:teorema de la bisectrizdesigualdad triangular
Nivel de dificultad: 1820
Pista pequeña:
Por el teorema de la bisectriz, ACCD=ABBD\dfrac{AC}{CD}=\dfrac{AB}{BD}.
By the angle bisector theorem, ACCD=ABBD\dfrac{AC}{CD}=\dfrac{AB}{BD}
Pista grande:
Sea AC=q,AC=q, de modo que BD=30q;BD=\dfrac{30}{q}; luego aplica las tres desigualdades triangulares.
Let AC=q,AC=q, so BD=30q;BD=\dfrac{30}{q}; then apply the three triangle inequalities
Solución:
Sean q=ACq=AC y r=BD.r=BD. El teorema de la bisectriz da q3=10r,\tfrac{q}{3}=\tfrac{10}{r}, por lo que r=30q.r=\tfrac{30}{q}.
Aplicando las desigualdades triangulares a los lados q,q, 10,10, y 3+r3+r y sustituyendo r=30qr=\tfrac{30}{q} se obtiene (q−15)(q+2)<0(q-15)(q+2)\lt0 y (q−3)(q+10)>0(q-3)(q+10)\gt0 (la tercera desigualdad se cumple automáticamente). Juntas, estas obligan a 3<q<15.3\lt q\lt15.
Así que (m,n)=(3,15)(m,n)=(3,15) y m+n=18.m+n=18.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Let q=ACq=AC and r=BD.r=BD. The angle bisector theorem gives q3=10r,\tfrac{q}{3}=\tfrac{10}{r}, so r=30q.r=\tfrac{30}{q}.
Applying the triangle inequalities to sides q,q, 10,10, and 3+r3+r and substituting r=30qr=\tfrac{30}{q} yields (q−15)(q+2)<0(q-15)(q+2)\lt0 and (q−3)(q+10)>0(q-3)(q+10)\gt0 (the third inequality holds automatically). Together these force 3<q<15.3\lt q\lt15.
So (m,n)=(3,15)(m,n)=(3,15) and m+n=18.m+n=18.
Thus, the correct answer is C.

13.

El cuadrado ABCDABCD tiene lado de longitud 30.30. El punto PP está dentro del cuadrado de modo que AP=12AP=12 y BP=26.BP=26. Los baricentros de △ABP,\triangle ABP, △BCP,\triangle BCP, △CDP,\triangle CDP, y △DAP\triangle DAP son los vértices de un cuadrilátero convexo. ¿Cuál es el área de ese cuadrilátero?
Square ABCDABCD has side length 30.30. Point PP lies inside the square so that AP=12AP=12 and BP=26.BP=26. The centroids of △ABP,\triangle ABP, △BCP,\triangle BCP, △CDP,\triangle CDP, and △DAP\triangle DAP are the vertices of a convex quadrilateral. What is the area of that quadrilateral?
1002100\sqrt{2}
1003100\sqrt{3}
200200
2002200\sqrt{2}
2003200\sqrt{3}
Conceptos:baricentrogeometría analíticaárea
Nivel de dificultad: 1810
Pista pequeña:
Coloca el cuadrado en coordenadas y escribe P=(3x,3y)P=(3x,3y).
Place the square in coordinates and write P=(3x,3y)P=(3x,3y)
Pista grande:
Cada baricentro promedia tres vértices; los cuatro baricentros forman un cuadrado cuyas diagonales tienen longitud 2020.
Each centroid averages three vertices; the four centroids form a square whose diagonals have length 2020
Solución:
Coloca A=(0,30),A=(0,30), B=(0,0),B=(0,0), C=(30,0),C=(30,0), D=(30,30),D=(30,30), y P=(3x,3y).P=(3x,3y). Promediando los vértices, los cuatro baricentros son (x, y+10), (x+10, y), (x+20, y+10), (x+10, y+20). \begin{gathered} (x,\,y+10),\ \\ (x+10,\,y),\ \\ (x+20,\,y+10),\ \\ (x+10,\,y+20). \end{gathered}
Estos forman un cuadrado cuyas diagonales, una horizontal y una vertical, tienen cada una longitud 20.20. Su área es 12⋅20⋅20=200,\tfrac12\cdot20\cdot20=200, independiente de dónde se encuentre PP.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Place A=(0,30),A=(0,30), B=(0,0),B=(0,0), C=(30,0),C=(30,0), D=(30,30),D=(30,30), and P=(3x,3y).P=(3x,3y). Averaging the vertices, the four centroids are (x, y+10), (x+10, y), (x+20, y+10), (x+10, y+20). \begin{gathered} (x,\,y+10),\ \\ (x+10,\,y),\ \\ (x+20,\,y+10),\ \\ (x+10,\,y+20). \end{gathered}
These form a square whose diagonals, one horizontal and one vertical, each have length 20.20. Its area is 12⋅20⋅20=200,\tfrac12\cdot20\cdot20=200, independent of where PP lies.
Thus, the correct answer is C.

14.

Joey y Chloe y su hija Zoe tienen todos el mismo cumpleaños. Joey es 11 año mayor que Chloe, y Zoe tiene exactamente 11 año hoy. Hoy es el primero de los 99 cumpleaños en los que la edad de Chloe será un múltiplo entero de la edad de Zoe. ¿Cuál será la suma de los dos dígitos de la edad de Joey la próxima vez que su edad sea un múltiplo de la edad de Zoe?
Joey and Chloe and their daughter Zoe all have the same birthday. Joey is 11 year older than Chloe, and Zoe is exactly 11 year old today. Today is the first of the 99 birthdays on which Chloe’s age will be an integral multiple of Zoe’s age. What will be the sum of the two digits of Joey’s age the next time his age is a multiple of Zoe’s age?
77
88
99
1010
1111
Conceptos:conteo de factoresdivisibilidad
Nivel de dificultad: 1870
Pista pequeña:
Sea nn la edad de Chloe hoy; dentro de yy años su edad es un múltiplo de la de Zoe exactamente cuando 1+y1+y divide a n−1n-1.
Let Chloe be nn today; yy years from now her age is a multiple of Zoe’s exactly when 1+y1+y divides n−1n-1
Pista grande:
Así que n−1n-1 debe tener exactamente 99 divisores; halla el único valor de dos dígitos con esa propiedad.
So n−1n-1 must have exactly 99 divisors; find the only two-digit such value
Solución:
Sea nn la edad actual de Chloe, de modo que ella es n−1n-1 años mayor que Zoe. Dentro de yy años, la edad n+yn+y de Chloe es múltiplo de la edad 1+y1+y de Zoe exactamente cuando 1+y1+y divide a n−1.n-1. Tener 99 cumpleaños así significa que n−1n-1 tiene exactamente 99 divisores.
Un número con exactamente 99 divisores tiene la forma p2q2p^2q^2 para primos distintos p,q,p,q, o la forma p8.p^8. Como la edad de Joey en el cumpleaños futuro pedido tiene dos dígitos, n−1<99;n-1\lt99; la única posibilidad es 22⋅32=36.2^2\cdot3^2=36. Así, Chloe tiene 3737 y Joey 38.38.
La edad 38+y38+y de Joey es múltiplo de 1+y1+y exactamente cuando 1+y1+y divide a 37.37. La próxima vez ocurre para y=36,y=36, cuando Joey tiene 74,74, cuya suma de dígitos es 7+4=11.7+4=11.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Let Chloe be nn today, so she is n−1n-1 years older than Zoe. In yy years Chloe’s age n+yn+y is a multiple of Zoe’s age 1+y1+y exactly when 1+y1+y divides n−1.n-1. Having 99 such birthdays means n−1n-1 has exactly 99 divisors.
A number with exactly 99 divisors has the form p2q2p^2q^2 for distinct primes p,q,p,q, or p8.p^8. Because Joey’s age at the requested future birthday has two digits, n−1<99;n-1\lt99; the only possibility is 22⋅32=36.2^2\cdot3^2=36. So Chloe is 3737 and Joey is 38.38.
Joey’s age 38+y38+y is a multiple of 1+y1+y exactly when 1+y1+y divides 37.37. The next time is y=36,y=36, making Joey 74,74, with digit sum 7+4=11.7+4=11.
Thus, the correct answer is E.

15.

¿Cuántos enteros positivos impares de 33 dígitos que son múltiplos de 33 no incluyen el dígito 33?
How many 33-digit positive odd multiples of 33 do not include the digit 3?3?
9696
9797
9898
102102
120120
Conceptos:dígitosdivisibilidadprincipio de multiplicación
Nivel de dificultad: 1930
Pista pequeña:
Elige primero el dígito de las centenas (que no sea 00 ni 33) y el dígito de las unidades (impar, distinto de 33).
Choose the hundreds digit (not 00 or 33) and the units digit (odd, not 33) first
Pista grande:
Para cada uno de esos pares, los dígitos de las decenas permitidos se reparten equitativamente en tres clases de residuo módulo 33.
For each such pair, the allowed tens digits split evenly into three residue classes mod 33
Solución:
Escribe el número como abc‾.\overline{abc}. El dígito de las centenas aa tiene 88 opciones (1,2,4,5,6,7,8,91,2,4,5,6,7,8,9), y el dígito de las unidades cc tiene 44 opciones (1,5,7,91,5,7,9).
El dígito de las decenas bb puede ser cualquiera de {0,1,2,4,5,6,7,8,9}.\{0,1,2,4,5,6,7,8,9\}. Estos se reparten en tres clases de residuo módulo 33 de igual tamaño {0,6,9},{1,4,7},{2,5,8},\{0,6,9\},\{1,4,7\},\{2,5,8\}, así que exactamente 33 opciones de bb hacen que a+b+ca+b+c sea divisible entre 3.3.
El total es 8⋅4⋅3=96.8\cdot4\cdot3=96.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Write the number as abc‾.\overline{abc}. The hundreds digit aa has 88 choices (1,2,4,5,6,7,8,91,2,4,5,6,7,8,9), and the units digit cc has 44 choices (1,5,7,91,5,7,9).
The tens digit bb may be any of {0,1,2,4,5,6,7,8,9}.\{0,1,2,4,5,6,7,8,9\}. These split into three residue classes mod 33 of equal size {0,6,9},{1,4,7},{2,5,8},\{0,6,9\},\{1,4,7\},\{2,5,8\}, so exactly 33 choices of bb make a+b+ca+b+c divisible by 3.3.
The count is 8⋅4⋅3=96.8\cdot4\cdot3=96.
Thus, the correct answer is A.

16.

Las soluciones de la ecuación (z+6)8=81(z+6)^8=81 se conectan en el plano complejo para formar un polígono regular convexo, tres de cuyos vértices se marcan A,A, B,B, y C.C. ¿Cuál es la menor área posible del △ABC\triangle ABC?
The solutions to the equation (z+6)8=81(z+6)^8=81 are connected in the complex plane to form a convex regular polygon, three of whose vertices are labeled A,A, B,B, and C.C. What is the least possible area of △ABC?\triangle ABC?
166\dfrac{1}{6}\sqrt{6}
322−32\dfrac{3}{2}\sqrt{2}-\dfrac{3}{2}
23−222\sqrt{3}-2\sqrt{2}
122\dfrac{1}{2}\sqrt{2}
3−1\sqrt{3}-1
Conceptos:raíces de la unidadpolígono regularárea del triángulo
Nivel de dificultad: 1990
Pista pequeña:
Desplazar en 66 no cambia la forma; las raíces de z8=81z^8=81 forman un octágono regular.
Shifting by 66 does not change the shape; the roots of z8=81z^8=81 form a regular octagon
Pista grande:
El circunradio es 8118=3,81^{\frac{1}{8}}=\sqrt3, y el triángulo más pequeño usa tres vértices consecutivos.
The circumradius is 8118=3,81^{\frac{1}{8}}=\sqrt3, and the smallest triangle uses three consecutive vertices
Solución:
Trasladando en 6,6, las soluciones de z8=81z^8=81 son ocho puntos sobre un círculo de radio 8118=3,81^{\frac{1}{8}}=\sqrt3, que forman un octágono regular. El triángulo de área mínima usa tres vértices consecutivos.
Toma A=(126,126),A=\left(\tfrac12\sqrt6,\tfrac12\sqrt6\right), B=(3,0),B=(\sqrt3,0), y C=(126,−126).C=\left(\tfrac12\sqrt6,-\tfrac12\sqrt6\right). Entonces AC=6AC=\sqrt6 y la altura es 3−126,\sqrt3-\tfrac12\sqrt6, así que el área es 12⋅6(3−126)=322−32. \begin{gathered} \tfrac12\cdot\sqrt6\left(\sqrt3-\tfrac12\sqrt6\right) \\ =\tfrac{3}{2}\sqrt2-\tfrac{3}{2}. \end{gathered}
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Translating by 6,6, the solutions of z8=81z^8=81 are eight points on a circle of radius 8118=3,81^{\frac{1}{8}}=\sqrt3, forming a regular octagon. The minimum-area triangle uses three consecutive vertices.
Take A=(126,126),A=\left(\tfrac12\sqrt6,\tfrac12\sqrt6\right), B=(3,0),B=(\sqrt3,0), and C=(126,−126).C=\left(\tfrac12\sqrt6,-\tfrac12\sqrt6\right). Then AC=6AC=\sqrt6 and the height is 3−126,\sqrt3-\tfrac12\sqrt6, so the area is 12⋅6(3−126)=322−32. \begin{gathered} \tfrac12\cdot\sqrt6\left(\sqrt3-\tfrac12\sqrt6\right) \\ =\tfrac{3}{2}\sqrt2-\tfrac{3}{2}. \end{gathered}
Thus, the correct answer is B.

17.

Sean pp y qq enteros positivos tales que 59<pq<47 \dfrac{5}{9}\lt\dfrac{p}{q}\lt\dfrac{4}{7} y qq sea lo más pequeño posible. ¿Cuánto vale q−pq-p?
Let pp and qq be positive integers such that 59<pq<47 \dfrac{5}{9}\lt\dfrac{p}{q}\lt\dfrac{4}{7} and qq is as small as possible. What is q−p?q-p?
77
1111
1313
1717
1919
Conceptos:fraccióndesigualdadacotación a casos límite
Nivel de dificultad: 2090
Pista pequeña:
Como 9p>5q9p\gt5q y 4q>7p4q\gt7p con miembros enteros, 9p−5q≥19p-5q\ge1 y 4q−7p≥14q-7p\ge1.
Since 9p>5q9p\gt5q and 4q>7p4q\gt7p with integer sides, 9p−5q≥19p-5q\ge1 and 4q−7p≥14q-7p\ge1
Pista grande:
Súmalas después de escribir 47−59=163\tfrac{4}{7}-\tfrac{5}{9}=\tfrac{1}{63} para acotar qq.
Add these after writing 47−59=163\tfrac{4}{7}-\tfrac{5}{9}=\tfrac{1}{63} to bound qq
Solución:
De 59<pq\tfrac59\lt\tfrac pq obtenemos 9p−5q≥1,9p-5q\ge1, y de pq<47\tfrac pq\lt\tfrac47 obtenemos 4q−7p≥1.4q-7p\ge1. Ahora 163=47−59=4q−7p7q+9p−5q9q≥17q+19q=1663q. \begin{gathered} \dfrac{1}{63}=\dfrac47-\dfrac59 \\ =\dfrac{4q-7p}{7q}+\dfrac{9p-5q}{9q} \\ \ge\dfrac{1}{7q}+\dfrac{1}{9q} \\ =\dfrac{16}{63q}. \end{gathered}
Por lo tanto q≥16.q\ge16. Con q=16,q=16, la fracción 916\tfrac{9}{16} está estrictamente entre 59\tfrac59 y 47,\tfrac47, así que p=9p=9 y q−p=16−9=7.q-p=16-9=7.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
From 59<pq\tfrac59\lt\tfrac pq we get 9p−5q≥1,9p-5q\ge1, and from pq<47\tfrac pq\lt\tfrac47 we get 4q−7p≥1.4q-7p\ge1. Now 163=47−59=4q−7p7q+9p−5q9q≥17q+19q=1663q. \begin{gathered} \dfrac{1}{63}=\dfrac47-\dfrac59 \\ =\dfrac{4q-7p}{7q}+\dfrac{9p-5q}{9q} \\ \ge\dfrac{1}{7q}+\dfrac{1}{9q} \\ =\dfrac{16}{63q}. \end{gathered}
Hence q≥16.q\ge16. With q=16,q=16, the fraction 916\tfrac{9}{16} lies strictly between 59\tfrac59 and 47,\tfrac47, so p=9p=9 and q−p=16−9=7.q-p=16-9=7.
Thus, the correct answer is A.

18.

Una función ff se define recursivamente por f(1)=f(2)=1f(1)=f(2)=1 y f(n)=f(n−1)−f(n−2)+n f(n)=f(n-1)-f(n-2)+n para todos los enteros n≥3.n\ge3. ¿Cuánto vale f(2018)f(2018)?
A function ff is defined recursively by f(1)=f(2)=1f(1)=f(2)=1 and f(n)=f(n−1)−f(n−2)+n f(n)=f(n-1)-f(n-2)+n for all integers n≥3.n\ge3. What is f(2018)?f(2018)?
20162016
20172017
20182018
20192019
20202020
Conceptos:recursióntelescópica
Nivel de dificultad: 2150
Pista pequeña:
Calcula varios términos y busca un patrón en f(n)−nf(n)-n.
Compute several terms and look for a pattern in f(n)−nf(n)-n
Pista grande:
Al expandir la recursión cuatro veces se muestra que f(n)=f(n−6)+6f(n)=f(n-6)+6.
Expanding the recursion four times shows f(n)=f(n−6)+6f(n)=f(n-6)+6
Solución:
Sustituyendo repetidamente la recursión en sí misma se obtiene f(n)=f(n−6)+6. f(n)=f(n-6)+6. Así que ff aumenta en 66 cada vez que nn aumenta en 6.6.
Como 2018=2+6⋅336,2018=2+6\cdot336, tenemos f(2018)=f(2)+6⋅336f(2018)=f(2)+6\cdot336 =1+2016=2017.=1+2016=2017.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Repeatedly substituting the recursion into itself gives f(n)=f(n−6)+6. f(n)=f(n-6)+6. So ff increases by 66 every time nn increases by 6.6.
Since 2018=2+6⋅336,2018=2+6\cdot336, we have f(2018)=f(2)+6⋅336f(2018)=f(2)+6\cdot336 =1+2016=2017.=1+2016=2017.
Thus, the correct answer is B.

19.

Mary eligió un número par de 44 dígitos n.n. Escribió todos los divisores de nn en orden creciente de izquierda a derecha: 1,1, 2,2, …,\ldots, n2,\tfrac{n}{2}, n.n. En cierto momento Mary escribió 323323 como divisor de n.n. ¿Cuál es el menor valor posible del siguiente divisor escrito a la derecha de 323323?
Mary chose an even 44-digit number n.n. She wrote down all the divisors of nn in increasing order from left to right: 1,1, 2,2, …,\ldots, n2,\tfrac{n}{2}, n.n. At some moment Mary wrote 323323 as a divisor of n.n. What is the smallest possible value of the next divisor written to the right of 323?323?
324324
330330
340340
361361
646646
Conceptos:divisibilidadmáximo común divisorfactorización en primos
Nivel de dificultad: 2170
Pista pequeña:
Factoriza 323=17⋅19323=17\cdot19.
Factor 323=17⋅19323=17\cdot19
Pista grande:
Si el siguiente divisor dd fuera coprimo con 323,323, entonces n≥323d>9999;n\ge323d\gt9999; así que dd comparte un primo con 323323.
If the next divisor dd were coprime to 323,323, then n≥323d>9999;n\ge323d\gt9999; so dd shares a prime with 323323
Solución:
Sea dd el siguiente divisor después de 323.323. Si gcd⁡(d,323)=1,\gcd(d,323)=1, entonces 323d323d divide a n,n, obligando a que n≥323d>3232>9999,n\ge323d\gt323^2\gt9999, imposible para un número de 44 dígitos. Así que dd comparte un factor primo con 323=17⋅19.323=17\cdot19.
Entonces d−323≥gcd⁡(d,323)≥17,d-323\ge\gcd(d,323)\ge17, así que d≥340.d\ge340. En efecto, d=340=17⋅20d=340=17\cdot20 ocurre para n=17⋅19⋅20=6460,n=17\cdot19\cdot20=6460, que es par y de 44 dígitos.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Let dd be the next divisor after 323.323. If gcd⁡(d,323)=1,\gcd(d,323)=1, then 323d323d divides n,n, forcing n≥323d>3232>9999,n\ge323d\gt323^2\gt9999, impossible for a 44-digit number. So dd shares a prime factor with 323=17⋅19.323=17\cdot19.
Then d−323≥gcd⁡(d,323)≥17,d-323\ge\gcd(d,323)\ge17, so d≥340.d\ge340. Indeed d=340=17⋅20d=340=17\cdot20 occurs for n=17⋅19⋅20=6460,n=17\cdot19\cdot20=6460, which is even and 44-digit.
Thus, the correct answer is C.

20.

Sea ABCDEFABCDEF un hexágono regular de lado 1.1. Denota por X,X, Y,Y, y ZZ los puntos medios de los lados AB,AB, CD,CD, y EF,EF, respectivamente. ¿Cuál es el área del hexágono convexo cuyo interior es la intersección de los interiores de △ACE\triangle ACE y △XYZ\triangle XYZ?
Let ABCDEFABCDEF be a regular hexagon with side length 1.1. Denote by X,X, Y,Y, and ZZ the midpoints of sides AB,AB, CD,CD, and EF,EF, respectively. What is the area of the convex hexagon whose interior is the intersection of the interiors of △ACE\triangle ACE and △XYZ?\triangle XYZ?
383\dfrac{3}{8}\sqrt{3}
7163\dfrac{7}{16}\sqrt{3}
15323\dfrac{15}{32}\sqrt{3}
123\dfrac{1}{2}\sqrt{3}
9163\dfrac{9}{16}\sqrt{3}
Conceptos:polígono regularrazón de áreastriángulo equilátero
Nivel de dificultad: 2270
Pista pequeña:
Coloca el hexágono regular sobre la circunferencia unitaria y escribe las coordenadas de A,C,EA,C,E y de los tres puntos medios.
Put the regular hexagon on the unit circle and write coordinates for A,C,EA,C,E and the three midpoints
Pista grande:
Interseca las rectas laterales de los dos triángulos equiláteros para hallar los seis vértices, y luego usa la fórmula del cordón.
Intersect the side lines of the two equilateral triangles to find the six vertices, then use shoelace
Solución:
Coloquemos el hexágono regular sobre la circunferencia unitaria con A=(1,0),A=(1,0), C=(−12,32),C=(-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}), y E=(−12,−32).E=(-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}). Los tres puntos medios indicados son X=(34,34),X=(\tfrac34,\tfrac{\sqrt3}{4}), Y=(−34,34),Y=(-\tfrac34,\tfrac{\sqrt3}{4}), y Z=(0,−32).Z=(0,-\tfrac{\sqrt3}{2}).
Al intersectar las rectas laterales de △ACE\triangle ACE y △XYZ\triangle XYZ, se obtienen los seis vértices de su interior común, en orden cíclico: (−12,0),(−18,−338),(14,−34),(58,38),(14,34),(−12,34). \begin{gathered} (-\tfrac12,0),\quad (-\tfrac18,-\tfrac{3\sqrt3}{8}),\\ (\tfrac14,-\tfrac{\sqrt3}{4}),\quad (\tfrac58,\tfrac{\sqrt3}{8}),\\ (\tfrac14,\tfrac{\sqrt3}{4}),\quad (-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{4}). \end{gathered} La fórmula del cordón aplicada a estos vértices da el área 15332.\dfrac{15\sqrt3}{32}.
Así, la respuesta correcta es C.
Place the regular hexagon on the unit circle with A=(1,0),A=(1,0), C=(−12,32),C=(-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}), and E=(−12,−32).E=(-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}). The three specified midpoints are X=(34,34),X=(\tfrac34,\tfrac{\sqrt3}{4}), Y=(−34,34),Y=(-\tfrac34,\tfrac{\sqrt3}{4}), and Z=(0,−32).Z=(0,-\tfrac{\sqrt3}{2}).
Intersecting the side lines of △ACE\triangle ACE and △XYZ\triangle XYZ gives the six vertices of their common interior, in cyclic order: (−12,0),(−18,−338),(14,−34),(58,38),(14,34),(−12,34). \begin{gathered} (-\tfrac12,0),\quad (-\tfrac18,-\tfrac{3\sqrt3}{8}),\\ (\tfrac14,-\tfrac{\sqrt3}{4}),\quad (\tfrac58,\tfrac{\sqrt3}{8}),\\ (\tfrac14,\tfrac{\sqrt3}{4}),\quad (-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{4}). \end{gathered} The shoelace formula applied to these vertices gives area 15332.\dfrac{15\sqrt3}{32}.
Thus, the correct answer is C.

21.

En el △ABC\triangle ABC con longitudes de lado AB=13,AB=13, AC=12,AC=12, y BC=5,BC=5, sean OO e II el circuncentro y el incentro, respectivamente. Un círculo con centro MM es tangente a los catetos ACAC y BCBC y a la circunferencia circunscrita del △ABC.\triangle ABC. ¿Cuál es el área del △MOI\triangle MOI?
In △ABC\triangle ABC with side lengths AB=13,AB=13, AC=12,AC=12, and BC=5,BC=5, let OO and II denote the circumcenter and incenter, respectively. A circle with center MM is tangent to the legs ACAC and BCBC and to the circumcircle of △ABC.\triangle ABC. What is the area of △MOI?\triangle MOI?
52\dfrac{5}{2}
114\dfrac{11}{4}
33
134\dfrac{13}{4}
72\dfrac{7}{2}
Conceptos:geometría analíticacircunferencia circunscrita, circuncentro y circunradiocircunferencia inscrita, incentro e inradiocircunferencias tangentes
Nivel de dificultad: 2360
Pista pequeña:
El triángulo es rectángulo en C;C; coloca CC en el origen con los catetos sobre los ejes.
The triangle is right-angled at C;C; put CC at the origin with the legs on the axes
Pista grande:
OO es el punto medio de la hipotenusa e I=(2,2);I=(2,2); el círculo en M=(ρ,ρ)M=(\rho,\rho) es tangente a la circunferencia circunscrita.
OO is the midpoint of the hypotenuse and I=(2,2);I=(2,2); the circle at M=(ρ,ρ)M=(\rho,\rho) is tangent to the circumcircle
Solución:
Como 52+122=132,5^2+12^2=13^2, el triángulo es rectángulo en C.C. Pon C=(0,0),C=(0,0), A=(12,0),A=(12,0), y B=(0,5).B=(0,5). Entonces OO es el punto medio de AB‾,\overline{AB}, es decir O=(6,52),O=\left(6,\tfrac52\right), con circunradio 132.\tfrac{13}{2}. El inradio es aˊreas=3015=2,\tfrac{\text{área}}{s}=\tfrac{30}{15}=2, por lo que I=(2,2).I=(2,2).
Como el círculo de MM es tangente a ambos catetos, M=(ρ,ρ).M=(\rho,\rho). La tangencia interna con la circunferencia circunscrita da MO=132−ρ.MO=\tfrac{13}{2}-\rho. Igualando esto a (ρ−6)2+(ρ−52)2\sqrt{(\rho-6)^2+\left(\rho-\tfrac52\right)^2} y resolviendo se obtiene ρ=4,\rho=4, por lo que M=(4,4).M=(4,4).
La fórmula del cordón de zapato sobre M=(4,4),M=(4,4), O=(6,52),O=\left(6,\tfrac52\right), I=(2,2)I=(2,2) da un área de 72.\tfrac72.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Since 52+122=132,5^2+12^2=13^2, the triangle is right-angled at C.C. Set C=(0,0),C=(0,0), A=(12,0),A=(12,0), and B=(0,5).B=(0,5). Then OO is the midpoint of AB‾,\overline{AB}, namely O=(6,52),O=\left(6,\tfrac52\right), with circumradius 132.\tfrac{13}{2}. The inradius is areas=3015=2,\tfrac{\text{area}}{s}=\tfrac{30}{15}=2, so I=(2,2).I=(2,2).
Because MM’s circle is tangent to both legs, M=(ρ,ρ).M=(\rho,\rho). Internal tangency to the circumcircle gives MO=132−ρ.MO=\tfrac{13}{2}-\rho. Setting this equal to (ρ−6)2+(ρ−52)2\sqrt{(\rho-6)^2+\left(\rho-\tfrac52\right)^2} and solving gives ρ=4,\rho=4, so M=(4,4).M=(4,4).
The shoelace formula on M=(4,4),M=(4,4), O=(6,52),O=\left(6,\tfrac52\right), I=(2,2)I=(2,2) gives area 72.\tfrac72.
Thus, the correct answer is E.

22.

Considera polinomios P(x)P(x) de grado a lo sumo 3,3, cada uno de cuyos coeficientes es un elemento de {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}. ¿Cuántos de esos polinomios satisfacen P(−1)=−9P(-1)=-9?
Consider polynomials P(x)P(x) of degree at most 3,3, each of whose coefficients is an element of {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}. How many such polynomials satisfy P(−1)=−9?P(-1)=-9?
110110
143143
165165
220220
286286
Conceptos:estrellas y barrassustitución
Nivel de dificultad: 2330
Pista pequeña:
Escribe P(x)=ax3+bx2+cx+d;P(x)=ax^3+bx^2+cx+d; entonces P(−1)=−a+b−c+d=−9P(-1)=-a+b-c+d=-9.
Write P(x)=ax3+bx2+cx+d;P(x)=ax^3+bx^2+cx+d; then P(−1)=−a+b−c+d=−9P(-1)=-a+b-c+d=-9
Pista grande:
Sustituye a′=9−aa'=9-a y c′=9−cc'=9-c para convertirlo en a′+b+c′+d=9a'+b+c'+d=9 con cada variable en [0,9][0,9].
Substitute a′=9−aa'=9-a and c′=9−cc'=9-c to turn it into a′+b+c′+d=9a'+b+c'+d=9 with each variable in [0,9][0,9]
Solución:
Escribe P(x)=ax3+bx2+cx+dP(x)=ax^3+bx^2+cx+d con cada uno de a,b,c,da,b,c,d en {0,…,9}.\{0,\ldots,9\}. La condición es −a+b−c+d=−9.-a+b-c+d=-9.
Sea a′=9−aa'=9-a y c′=9−c,c'=9-c, ambos en [0,9].[0,9]. Entonces a′+b+c′+d=9.a'+b+c'+d=9. Por el método de estrellas y barras, el número de soluciones no negativas es (9+33)=(123)=220,\binom{9+3}{3}=\binom{12}{3}=220, y cada una satisface automáticamente las cotas superiores, ya que la suma es 9.9.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Write P(x)=ax3+bx2+cx+dP(x)=ax^3+bx^2+cx+d with each of a,b,c,da,b,c,d in {0,…,9}.\{0,\ldots,9\}. The condition is −a+b−c+d=−9.-a+b-c+d=-9.
Let a′=9−aa'=9-a and c′=9−c,c'=9-c, both in [0,9].[0,9]. Then a′+b+c′+d=9.a'+b+c'+d=9. By stars and bars the number of nonnegative solutions is (9+33)=(123)=220,\binom{9+3}{3}=\binom{12}{3}=220, and each automatically satisfies the upper bounds since the sum is 9.9.
Thus, the correct answer is D.

23.

Ajay está de pie en el punto AA cerca de Pontianak, Indonesia, a 0∘0^\circ de latitud y 110∘110^\circ de longitud E. Billy está de pie en el punto BB cerca de Big Baldy Mountain, Idaho, EE. UU., a 45∘45^\circ N de latitud y 115∘115^\circ O de longitud. Supongamos que la Tierra es una esfera perfecta con centro C.C. ¿Cuál es la medida en grados del ∠ACB\angle ACB?
Ajay is standing at point AA near Pontianak, Indonesia, 0∘0^\circ latitude and 110∘110^\circ E longitude. Billy is standing at point BB near Big Baldy Mountain, Idaho, USA, 45∘45^\circ N latitude and 115∘115^\circ W longitude. Assume that Earth is a perfect sphere with center C.C. What is the degree measure of ∠ACB?\angle ACB?
105105
11212112\tfrac{1}{2}
120120
135135
150150
Conceptos:Geometría 3Desferavector
Nivel de dificultad: 2400
Pista pequeña:
La diferencia de longitud es 360∘−(110∘+115∘)=135∘360^\circ-(110^\circ+115^\circ)=135^\circ.
The longitude difference is 360∘−(110∘+115∘)=135∘360^\circ-(110^\circ+115^\circ)=135^\circ
Pista grande:
Coloca ambos puntos sobre una esfera unitaria y calcula el producto punto de sus vectores de posición.
Put both points on a unit sphere and take the dot product of their position vectors
Solución:
Las longitudes difieren en 360∘−(110∘+115∘)=135∘,360^\circ-(110^\circ+115^\circ)=135^\circ, y BB está a latitud 45∘45^\circ N. Coloca A=(1,0,0)A=(1,0,0) sobre la esfera unitaria.
Entonces B=(cos⁡45∘cos⁡135∘, cos⁡45∘sin⁡135∘, sin⁡45∘)B=\tiny\left(\cos45^\circ\cos135^\circ,\ \cos45^\circ\sin135^\circ,\ \sin45^\circ\right) =(−12,12,22).=\left(-\tfrac12,\tfrac12,\tfrac{\sqrt2}{2}\right). El producto punto es A⋅B=−12,A\cdot B=-\tfrac12, así que cos⁡∠ACB=−12\cos\angle ACB=-\tfrac12 y ∠ACB=120∘.\angle ACB=120^\circ.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
The longitudes differ by 360∘−(110∘+115∘)=135∘,360^\circ-(110^\circ+115^\circ)=135^\circ, and BB is at latitude 45∘45^\circ N. Place A=(1,0,0)A=(1,0,0) on the unit sphere.
Then B=(cos⁡45∘cos⁡135∘, cos⁡45∘sin⁡135∘, sin⁡45∘)B=\tiny\left(\cos45^\circ\cos135^\circ,\ \cos45^\circ\sin135^\circ,\ \sin45^\circ\right) =(−12,12,22).=\left(-\tfrac12,\tfrac12,\tfrac{\sqrt2}{2}\right). The dot product is A⋅B=−12,A\cdot B=-\tfrac12, so cos⁡∠ACB=−12\cos\angle ACB=-\tfrac12 and ∠ACB=120∘.\angle ACB=120^\circ.
Thus, the correct answer is C.

24.

Sea ⌊x⌋\lfloor x\rfloor el mayor entero menor o igual que x.x. ¿Cuántos números reales xx satisfacen la ecuación x2+10,000⌊x⌋=10,000xx^2+10{,}000\lfloor x\rfloor=10{,}000x?
Let ⌊x⌋\lfloor x\rfloor denote the greatest integer less than or equal to x.x. How many real numbers xx satisfy the equation x2+10,000⌊x⌋=10,000x?x^2+10{,}000\lfloor x\rfloor=10{,}000x?
197197
198198
199199
200200
201201
Conceptos:funciones piso y techoconteo de intersecciones
Nivel de dificultad: 2500
Pista pequeña:
Reescribe la ecuación como x2=10,000 (x−⌊x⌋)x^2=10{,}000\,(x-\lfloor x\rfloor) =10,000{x}=10{,}000\{x\}.
Rewrite the equation as x2=10,000 (x−⌊x⌋)x^2=10{,}000\,(x-\lfloor x\rfloor) =10,000{x}=10{,}000\{x\}
Pista grande:
Entonces 0≤x210,000<1,0\le\dfrac{x^2}{10{,}000}\lt1, así que −100<x<100;-100\lt x\lt100; cuenta una solución por cada intervalo unitario.
Then 0≤x210,000<1,0\le\dfrac{x^2}{10{,}000}\lt1, so −100<x<100;-100\lt x\lt100; count one solution per unit interval
Solución:
Sea {x}=x−⌊x⌋.\{x\}=x-\lfloor x\rfloor. La ecuación se convierte en x2=10,000{x},x^2=10{,}000\{x\}, así que x210,000={x}.\tfrac{x^2}{10{,}000}=\{x\}. Como 0≤{x}<1,0\le\{x\}\lt1, necesitamos 0≤x2<10,000,0\le x^2\lt10{,}000, es decir, −100<x<100.-100\lt x\lt100.
En cada intervalo [k,k+1),[k,k+1), escribimos x=k+tx=k+t con 0≤t<1.0\le t\lt1. La ecuación se convierte en (k+t)2−10,000t=0.(k+t)^2-10{,}000t=0. Para −100≤k≤98,-100\le k\le98, el lado izquierdo es estrictamente decreciente; en t=0t=0 vale k2≥0,k^2\ge0, mientras que, cuando tt se aproxima a 11, se aproxima a (k+1)2−10,000<0.(k+1)^2-10{,}000\lt0. Por tanto, cada uno de estos intervalos contiene exactamente una solución. Hay 98−(−100)+1=19998-(-100)+1=199 intervalos.
Así, la respuesta correcta es C.
Let {x}=x−⌊x⌋.\{x\}=x-\lfloor x\rfloor. The equation becomes x2=10,000{x},x^2=10{,}000\{x\}, so x210,000={x}.\tfrac{x^2}{10{,}000}=\{x\}. Since 0≤{x}<1,0\le\{x\}\lt1, we need 0≤x2<10,000,0\le x^2\lt10{,}000, i.e. −100<x<100.-100\lt x\lt100.
On each interval [k,k+1),[k,k+1), write x=k+tx=k+t with 0≤t<1.0\le t\lt1. The equation becomes (k+t)2−10,000t=0.(k+t)^2-10{,}000t=0. For −100≤k≤98,-100\le k\le98, the left side is strictly decreasing; at t=0t=0 it is k2≥0,k^2\ge0, while as tt approaches 11 it approaches (k+1)2−10,000<0.(k+1)^2-10{,}000\lt0. Thus each of these intervals contains exactly one solution. There are 98−(−100)+1=19998-(-100)+1=199 such intervals.
Thus, the correct answer is C.

25.

Los círculos ω1,\omega_1, ω2,\omega_2, y ω3\omega_3 tienen cada uno radio 44 y están colocados en el plano de modo que cada círculo es tangente externamente a los otros dos. Los puntos P1,P_1, P2,P_2, y P3P_3 están sobre ω1,\omega_1, ω2,\omega_2, y ω3,\omega_3, respectivamente, de modo que P1P2=P2P3=P3P1P_1P_2=P_2P_3=P_3P_1 y la recta PiPi+1P_iP_{i+1} es tangente a ωi\omega_i para cada i=1,i=1, 2,2, 3,3, donde P4=P1.P_4=P_1. Ver la figura de abajo. El área del △P1P2P3\triangle P_1P_2P_3 se puede escribir en la forma a+b,\sqrt{a}+\sqrt{b}, donde aa y bb son enteros positivos. ¿Cuánto vale a+ba+b?
Circles ω1,\omega_1, ω2,\omega_2, and ω3\omega_3 each have radius 44 and are placed in the plane so that each circle is externally tangent to the other two. Points P1,P_1, P2,P_2, and P3P_3 lie on ω1,\omega_1, ω2,\omega_2, and ω3,\omega_3, respectively, so that P1P2=P2P3=P3P1P_1P_2=P_2P_3=P_3P_1 and line PiPi+1P_iP_{i+1} is tangent to ωi\omega_i for each i=1,i=1, 2,2, 3,3, where P4=P1.P_4=P_1. See the figure below. The area of △P1P2P3\triangle P_1P_2P_3 can be written in the form a+b,\sqrt{a}+\sqrt{b}, where aa and bb are positive integers. What is a+b?a+b?
546546
548548
550550
552552
554554
Conceptos:circunferencias tangentestriángulo rectángulo especialley de los cosenostriángulo equilátero
Nivel de dificultad: 2840
Pista pequeña:
Como PiPi+1P_iP_{i+1} es tangente a ωi\omega_i en Pi,P_i, el radio OiPiO_iP_i es perpendicular a PiPi+1P_iP_{i+1}.
Since PiPi+1P_iP_{i+1} is tangent to ωi\omega_i at Pi,P_i, the radius OiPiO_iP_i is perpendicular to PiPi+1P_iP_{i+1}
Pista grande:
Sea K=O1P1∩O2P2;K=O_1P_1\cap O_2P_2; con d=P1K,d=P_1K, aplica la ley de cosenos en el △O1KO2\triangle O_1KO_2.
Let K=O1P1∩O2P2;K=O_1P_1\cap O_2P_2; with d=P1K,d=P_1K, apply the Law of Cosines in △O1KO2\triangle O_1KO_2
Solución:
Sea OiO_i el centro de ωi,\omega_i, y sea KK la intersección de las rectas O1P1O_1P_1 y O2P2.O_2P_2. Como ∠P1P2P3=60∘,\angle P_1P_2P_3=60^\circ, el triángulo P2KP1P_2KP_1 es un triángulo 3030-6060-90∘90^\circ. Con d=P1K,d=P_1K, obtenemos P2K=2dP_2K=2d y P1P2=3 d.P_1P_2=\sqrt3\,d.
La ley de cosenos en el △O1KO2\triangle O_1KO_2 (con O1O2=8O_1O_2=8) da 82=(d+4)2+(2d−4)2−2(d+4)(2d−4)cos⁡60∘, \begin{gathered} 8^2=(d+4)^2+(2d-4)^2 \\ {}-2(d+4)(2d-4)\cos60^\circ, \end{gathered} que se simplifica a 3d2−12d−16=0,3d^2-12d-16=0, por lo que d=2+2321.d=2+\tfrac23\sqrt{21}.
Entonces P1P2=3 d=23+27,P_1P_2=\sqrt3\,d=2\sqrt3+2\sqrt7, y el área es 34(23+27)2=103+67=300+252. \begin{gathered} \dfrac{\sqrt3}{4}\left(2\sqrt3+2\sqrt7\right)^2 \\ =10\sqrt3+6\sqrt7 \\ =\sqrt{300}+\sqrt{252}. \end{gathered}
Así que a+b=300+252=552.a+b=300+252=552.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Let OiO_i be the center of ωi,\omega_i, and let KK be the intersection of lines O1P1O_1P_1 and O2P2.O_2P_2. Because ∠P1P2P3=60∘,\angle P_1P_2P_3=60^\circ, triangle P2KP1P_2KP_1 is a 3030-6060-90∘90^\circ triangle. With d=P1K,d=P_1K, we get P2K=2dP_2K=2d and P1P2=3 d.P_1P_2=\sqrt3\,d.
The Law of Cosines in △O1KO2\triangle O_1KO_2 (with O1O2=8O_1O_2=8) gives 82=(d+4)2+(2d−4)2−2(d+4)(2d−4)cos⁡60∘, \begin{gathered} 8^2=(d+4)^2+(2d-4)^2 \\ {}-2(d+4)(2d-4)\cos60^\circ, \end{gathered} which simplifies to 3d2−12d−16=0,3d^2-12d-16=0, so d=2+2321.d=2+\tfrac23\sqrt{21}.
Then P1P2=3 d=23+27,P_1P_2=\sqrt3\,d=2\sqrt3+2\sqrt7, and the area is 34(23+27)2=103+67=300+252. \begin{gathered} \dfrac{\sqrt3}{4}\left(2\sqrt3+2\sqrt7\right)^2 \\ =10\sqrt3+6\sqrt7 \\ =\sqrt{300}+\sqrt{252}. \end{gathered}
So a+b=300+252=552.a+b=300+252=552.
Thus, the correct answer is D.