Soluciones del 2018 AMC 12B | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Kate hornea una bandeja de pan de maíz de $20$ pulgadas por $18$ pulgadas. El pan de maíz se corta en trozos que miden $2$ pulgadas por $2$ pulgadas. ¿Cuántos trozos de pan de maíz contiene la bandeja?

Kate bakes a $20$ -inch by $18$ -inch pan of cornbread. The cornbread is cut into pieces that measure $2$ inches by $2$ inches. How many pieces of cornbread does the pan contain?

$90$

$100$

$180$

$200$

$360$

Conceptos:área

Nivel de dificultad: 840

Solución:

La bandeja tiene un área de $20\cdot18=360$ pulgadas cuadradas, y cada trozo tiene un área de $2\cdot2=4$ pulgadas cuadradas.

El número de trozos es $\dfrac{360}{4}=90.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The pan has area $20\cdot18=360$ square inches, and each piece has area $2\cdot2=4$ square inches.

The number of pieces is $\dfrac{360}{4}=90.$

Thus, the correct answer is A.

2.

Sam condujo $96$ millas en $90$ minutos. Su velocidad promedio durante los primeros $30$ minutos fue de $60$ mph (millas por hora), y su velocidad promedio durante los segundos $30$ minutos fue de $65$ mph. ¿Cuál fue su velocidad promedio, en mph, durante los últimos $30$ minutos?

Sam drove $96$ miles in $90$ minutes. His average speed during the first $30$ minutes was $60$ mph (miles per hour), and his average speed during the second $30$ minutes was $65$ mph. What was his average speed, in mph, during the last $30$ minutes?

$64$

$65$

$66$

$67$

$68$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo

Nivel de dificultad: 1080

Solución:

En los primeros $30$ minutos Sam recorrió $60\cdot\tfrac12=30$ millas, y en los segundos recorrió $65\cdot\tfrac12=32.5$ millas.

En los últimos $30$ minutos recorrió $96-30-32.5=33.5$ millas, de modo que la velocidad fue $\dfrac{33.5}{1/2}=67\text{ mph}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

In the first $30$ minutes Sam covered $60\cdot\tfrac12=30$ miles, and in the second he covered $65\cdot\tfrac12=32.5$ miles.

The last $30$ minutes covered $96-30-32.5=33.5$ miles, so the speed was $\dfrac{33.5}{1/2}=67\text{ mph}.$

Thus, the correct answer is D.

3.

Una recta de pendiente $2$ corta a una recta de pendiente $6$ en el punto $(40, 30).$ ¿Cuál es la distancia entre las intersecciones con el eje $x$ de estas dos rectas?

A line with slope $2$ intersects a line with slope $6$ at the point $(40, 30).$ What is the distance between the $x$ -intercepts of these two lines?

$5$

$10$

$20$

$25$

$50$

Conceptos:ecuación lineal pendiente geometría analítica

Nivel de dificultad: 1240

Solución:

La recta de pendiente $2$ es $y-30=2(x-40);$ al hacer $y=0$ se obtiene $x=25.$ La recta de pendiente $6$ es $y-30=6(x-40);$ al hacer $y=0$ se obtiene $x=35.$

La distancia entre las intersecciones es $|35-25|=10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The line of slope $2$ is $y-30=2(x-40);$ setting $y=0$ gives $x=25.$ The line of slope $6$ is $y-30=6(x-40);$ setting $y=0$ gives $x=35.$

The distance between the intercepts is $|35-25|=10.$

Thus, the correct answer is B.

4.

Un círculo tiene una cuerda de longitud $10,$ y la distancia desde el centro del círculo a la cuerda es $5.$ ¿Cuál es el área del círculo?

A circle has a chord of length $10,$ and the distance from the center of the circle to the chord is $5.$ What is the area of the circle?

$25\pi$

$50\pi$

$75\pi$

$100\pi$

$125\pi$

Conceptos:cuerda Teorema de Pitágoras área del círculo

Nivel de dificultad: 1310

Solución:

Al trazar una perpendicular desde el centro a la cuerda, esta queda bisecada, formando un triángulo rectángulo con catetos $5$ (la mitad de la cuerda) y $5$ (la distancia), e hipotenusa $r.$

Entonces $r^2=5^2+5^2=50,$ por lo que el área es $\pi r^2=50\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Dropping a perpendicular from the center to the chord bisects it, forming a right triangle with legs $5$ (half the chord) and $5$ (the distance), and hypotenuse $r.$

Then $r^2=5^2+5^2=50,$ so the area is $\pi r^2=50\pi.$

Thus, the correct answer is B.

5.

¿Cuántos subconjuntos de $\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ contienen al menos un número primo?

How many subsets of $\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ contain at least one prime number?

$128$

$192$

$224$

$240$

$256$

Conceptos:conteo complementario subconjuntos

Nivel de dificultad: 1390

Solución:

El conjunto tiene $8$ elementos, lo que da $2^8=256$ subconjuntos. Los subconjuntos sin ningún primo usan solo los cuatro no primos $\{4,6,8,9\},$ y hay $2^4=16$ de ellos.

Así que el número de los que contienen al menos un primo es $256-16=240.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The set has $8$ elements, giving $2^8=256$ subsets. The subsets with no prime use only the four non-primes $\{4,6,8,9\},$ and there are $2^4=16$ of these.

So the number containing at least one prime is $256-16=240.$

Thus, the correct answer is D.

6.

Supongamos que se pueden comprar $S$ latas de refresco en una máquina expendedora por $Q$ monedas de veinticinco centavos. ¿Cuál de las siguientes expresiones describe el número de latas de refresco que se pueden comprar con $D$ dólares, donde $1$ dólar equivale a $4$ monedas de veinticinco centavos?

Suppose $S$ cans of soda can be purchased from a vending machine for $Q$ quarters. Which of the following expressions describes the number of cans of soda that can be purchased for $D$ dollars, where $1$ dollar is worth $4$ quarters?

$\dfrac{4DQ}{S}$

$\dfrac{4DS}{Q}$

$\dfrac{4Q}{DS}$

$\dfrac{DQ}{4S}$

$\dfrac{DS}{4Q}$

Conceptos:razón y proporción conversión de unidades

Nivel de dificultad: 1430

Solución:

Una lata cuesta $\tfrac{Q}{S}$ monedas de veinticinco centavos, que son $\tfrac{Q}{4S}$ dólares. El número de latas que se pueden comprar con $D$ dólares es

$\dfrac{D}{\tfrac{Q}{4S}}=\dfrac{4DS}{Q}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

One can costs $\tfrac{Q}{S}$ quarters, which is $\tfrac{Q}{4S}$ dollars. The number of cans that $D$ dollars can buy is

$\dfrac{D}{\tfrac{Q}{4S}}=\dfrac{4DS}{Q}.$

Thus, the correct answer is B.

7.

¿Cuál es el valor de $\begin{gathered} \log_3 7\cdot\log_5 9\cdot\log_7 11 \\ {}\cdot\log_9 13\cdots\log_{21} 25\cdot\log_{23} 27? \end{gathered}$

What is the value of $\begin{gathered} \log_3 7\cdot\log_5 9\cdot\log_7 11 \\ {}\cdot\log_9 13\cdots\log_{21} 25\cdot\log_{23} 27? \end{gathered}$

$3$

$3\log_7 23$

$6$

$9$

$10$

Conceptos:logaritmo telescópica

Nivel de dificultad: 1580

Solución:

Los factores se separan en dos cadenas telescópicas. Los factores en posición impar forman $\begin{gathered} \log_3 7\cdot\log_7 11 \\ {}\cdot\log_{11} 15\cdots\log_{23} 27 \\ =\log_3 27=3, \end{gathered}$ y los factores en posición par forman $\begin{gathered} \log_5 9\cdot\log_9 13\cdots\log_{21} 25 \\ =\log_5 25=2. \end{gathered}$

El producto es $3\cdot2=6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The factors split into two telescoping chains. The odd-position factors form $\begin{gathered} \log_3 7\cdot\log_7 11 \\ {}\cdot\log_{11} 15\cdots\log_{23} 27 \\ =\log_3 27=3, \end{gathered}$ and the even-position factors form $\begin{gathered} \log_5 9\cdot\log_9 13\cdots\log_{21} 25 \\ =\log_5 25=2. \end{gathered}$

The product is $3\cdot2=6.$

Thus, the correct answer is C.

8.

El segmento $\overline{AB}$ es un diámetro de un círculo con $AB=24.$ El punto $C,$ distinto de $A$ o $B,$ está sobre el círculo. A medida que el punto $C$ se mueve alrededor del círculo, el baricentro (centro de masa) de $\triangle ABC$ traza una curva cerrada a la que le faltan dos puntos. Redondeando al entero positivo más cercano, ¿cuál es el área de la región acotada por esta curva?

Line segment $\overline{AB}$ is a diameter of a circle with $AB=24.$ Point $C,$ not equal to $A$ or $B,$ lies on the circle. As point $C$ moves around the circle, the centroid (center of mass) of $\triangle ABC$ traces out a closed curve missing two points. To the nearest positive integer, what is the area of the region bounded by this curve?

$25$

$38$

$50$

$63$

$75$

Conceptos:baricentro homotecia área del círculo

Nivel de dificultad: 1600

Solución:

Sea $O$ el centro del círculo. El baricentro de $\triangle ABC$ es el promedio de $A,$ $B,$ y $C;$ como $O$ es el punto medio de $\overline{AB},$ el baricentro se encuentra a un tercio del camino de $O$ a $C.$

A medida que $C$ traza el círculo de radio $12,$ el baricentro traza un círculo de radio $\tfrac13\cdot12=4.$ Su área es $16\pi\approx50.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $O$ be the center of the circle. The centroid of $\triangle ABC$ is the average of $A,$ $B,$ and $C;$ since $O$ is the midpoint of $\overline{AB},$ the centroid lies one-third of the way from $O$ to $C.$

As $C$ traces the circle of radius $12,$ the centroid traces a circle of radius $\tfrac13\cdot12=4.$ Its area is $16\pi\approx50.$

Thus, the correct answer is C.

9.

¿Cuánto vale $\sum_{i=1}^{100}\sum_{j=1}^{100}(i+j)?$

What is $\sum_{i=1}^{100}\sum_{j=1}^{100}(i+j)?$

$100{,}100$

$500{,}500$

$505{,}000$

$1{,}001{,}000$

$1{,}010{,}000$

Conceptos:sumatoria sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 1620

Solución:

Separando la suma, $\begin{gathered} \sum_{i=1}^{100}\sum_{j=1}^{100}(i+j) \\ =\sum_{i=1}^{100}\sum_{j=1}^{100}i \\ {}+\sum_{i=1}^{100}\sum_{j=1}^{100}j \\ =100\sum_{i=1}^{100}i \\ {}+100\sum_{j=1}^{100}j. \end{gathered}$

Como $\sum_{k=1}^{100}k=5050,$ esto es igual a $100\cdot5050$ $+100\cdot5050$ $=1{,}010{,}000.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Splitting the sum, $\begin{gathered} \sum_{i=1}^{100}\sum_{j=1}^{100}(i+j) \\ =\sum_{i=1}^{100}\sum_{j=1}^{100}i \\ {}+\sum_{i=1}^{100}\sum_{j=1}^{100}j \\ =100\sum_{i=1}^{100}i \\ {}+100\sum_{j=1}^{100}j. \end{gathered}$

Since $\sum_{k=1}^{100}k=5050,$ this equals $100\cdot5050$ $+100\cdot5050$ $=1{,}010{,}000.$

Thus, the correct answer is E.

10.

Una lista de $2018$ enteros positivos tiene una moda única, que aparece exactamente $10$ veces. ¿Cuál es el menor número de valores distintos que pueden aparecer en la lista?

A list of $2018$ positive integers has a unique mode, which occurs exactly $10$ times. What is the least number of distinct values that can occur in the list?

$202$

$223$

$224$

$225$

$234$

Conceptos:moda principio del palomar

Nivel de dificultad: 1700

Solución:

La moda usa $10$ de las entradas, dejando $2008.$ Como la moda es única, cualquier otro valor aparece a lo sumo $9$ veces, por lo que se necesitan al menos $\left\lceil\tfrac{2008}{9}\right\rceil=224$ valores distintos que no sean la moda.

Al añadir la moda se obtiene $224+1=225.$ Esto es alcanzable: usa $9$ copias de cada uno de $1$ hasta $223,$ diez copias de $224,$ y una copia de $225.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The mode uses $10$ of the entries, leaving $2008.$ Because the mode is unique, every other value appears at most $9$ times, so at least $\left\lceil\tfrac{2008}{9}\right\rceil=224$ distinct non-mode values are needed.

Adding the mode gives $224+1=225.$ This is achievable: use $9$ copies each of $1$ through $223,$ ten copies of $224,$ and one copy of $225.$

Thus, the correct answer is D.

11.

Una caja cerrada con base cuadrada se va a envolver con una hoja cuadrada de papel de regalo. La caja se coloca centrada sobre el papel de regalo, con los vértices de la base situados sobre las líneas medias de la hoja cuadrada de papel, como se muestra en la figura de la izquierda. Las cuatro esquinas del papel de regalo se doblan hacia arriba sobre los lados y se juntan para encontrarse en el centro de la parte superior de la caja, el punto $A$ en la figura de la derecha. La caja tiene longitud de base $w$ y altura $h.$ ¿Cuál es el área de la hoja de papel de regalo?

A closed box with a square base is to be wrapped with a square sheet of wrapping paper. The box is centered on the wrapping paper with the vertices of the base lying on the midlines of the square sheet of paper, as shown in the figure on the left. The four corners of the wrapping paper are to be folded up over the sides and brought together to meet at the center of the top of the box, point $A$ in the figure on the right. The box has base length $w$ and height $h.$ What is the area of the sheet of wrapping paper?

$2(w+h)^2$

$\dfrac{(w+h)^2}{2}$

$2w^2+4wh$

$2w^2$

$w^2h$

Conceptos:triángulo rectángulo especial área

Nivel de dificultad: 1760

Solución:

Siguiendo un doblez desde una esquina del papel hasta el centro de la parte superior de la caja, la distancia desde una esquina de la hoja hasta su centro es $\dfrac{w}{2}+h+\dfrac{w}{2}=w+h.$

Ese segmento es un cateto de un triángulo $45$ - $45$ - $90$ cuya hipotenusa es un lado completo de la hoja cuadrada, así que la longitud del lado es $\sqrt2\,(w+h).$

El área de la hoja es $\left(\sqrt2\,(w+h)\right)^2=2(w+h)^2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Following a fold from a corner of the paper to the center of the box top, the distance from a corner of the sheet to its center is $\dfrac{w}{2}+h+\dfrac{w}{2}=w+h.$

That segment is a leg of a $45$ - $45$ - $90$ triangle whose hypotenuse is a full side of the square sheet, so the side length is $\sqrt2\,(w+h).$

The area of the sheet is $\left(\sqrt2\,(w+h)\right)^2=2(w+h)^2.$

Thus, the correct answer is A.

12.

El lado $\overline{AB}$ del $\triangle ABC$ tiene longitud $10.$ La bisectriz del ángulo $A$ corta a $\overline{BC}$ en $D,$ y $CD=3.$ El conjunto de todos los valores posibles de $AC$ es un intervalo abierto $(m, n).$ ¿Cuánto vale $m+n$ ?

Side $\overline{AB}$ of $\triangle ABC$ has length $10.$ The bisector of angle $A$ meets $\overline{BC}$ at $D,$ and $CD=3.$ The set of all possible values of $AC$ is an open interval $(m, n).$ What is $m+n?$

$16$

$17$

$18$

$19$

$20$

Conceptos:teorema de la bisectriz desigualdad triangular

Nivel de dificultad: 1820

Solución:

Sean $q=AC$ y $r=BD.$ El teorema de la bisectriz da $\tfrac{q}{3}=\tfrac{10}{r},$ por lo que $r=\tfrac{30}{q}.$

Aplicando las desigualdades triangulares a los lados $q,$ $10,$ y $3+r$ y sustituyendo $r=\tfrac{30}{q}$ se obtiene $(q-15)(q+2)\lt0$ y $(q-3)(q+10)\gt0$ (la tercera desigualdad se cumple automáticamente). Juntas, estas obligan a $3\lt q\lt15.$

Así que $(m,n)=(3,15)$ y $m+n=18.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $q=AC$ and $r=BD.$ The angle bisector theorem gives $\tfrac{q}{3}=\tfrac{10}{r},$ so $r=\tfrac{30}{q}.$

Applying the triangle inequalities to sides $q,$ $10,$ and $3+r$ and substituting $r=\tfrac{30}{q}$ yields $(q-15)(q+2)\lt0$ and $(q-3)(q+10)\gt0$ (the third inequality holds automatically). Together these force $3\lt q\lt15.$

So $(m,n)=(3,15)$ and $m+n=18.$

Thus, the correct answer is C.

13.

El cuadrado $ABCD$ tiene lado de longitud $30.$ El punto $P$ está dentro del cuadrado de modo que $AP=12$ y $BP=26.$ Los baricentros de $\triangle ABP,$ $\triangle BCP,$ $\triangle CDP,$ y $\triangle DAP$ son los vértices de un cuadrilátero convexo. ¿Cuál es el área de ese cuadrilátero?

Square $ABCD$ has side length $30.$ Point $P$ lies inside the square so that $AP=12$ and $BP=26.$ The centroids of $\triangle ABP,$ $\triangle BCP,$ $\triangle CDP,$ and $\triangle DAP$ are the vertices of a convex quadrilateral. What is the area of that quadrilateral?

$100\sqrt{2}$

$100\sqrt{3}$

$200$

$200\sqrt{2}$

$200\sqrt{3}$

Conceptos:baricentro geometría analítica área

Nivel de dificultad: 1810

Solución:

Coloca $A=(0,30),$ $B=(0,0),$ $C=(30,0),$ $D=(30,30),$ y $P=(3x,3y).$ Promediando los vértices, los cuatro baricentros son $\begin{gathered} (x,\,y+10),\ \\ (x+10,\,y),\ \\ (x+20,\,y+10),\ \\ (x+10,\,y+20). \end{gathered}$

Estos forman un cuadrado cuyas diagonales, una horizontal y una vertical, tienen cada una longitud $20.$ Su área es $\tfrac12\cdot20\cdot20=200,$ independiente de dónde se encuentre $P$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Place $A=(0,30),$ $B=(0,0),$ $C=(30,0),$ $D=(30,30),$ and $P=(3x,3y).$ Averaging the vertices, the four centroids are $\begin{gathered} (x,\,y+10),\ \\ (x+10,\,y),\ \\ (x+20,\,y+10),\ \\ (x+10,\,y+20). \end{gathered}$

These form a square whose diagonals, one horizontal and one vertical, each have length $20.$ Its area is $\tfrac12\cdot20\cdot20=200,$ independent of where $P$ lies.

Thus, the correct answer is C.

14.

Joey y Chloe y su hija Zoe tienen todos el mismo cumpleaños. Joey es $1$ año mayor que Chloe, y Zoe tiene exactamente $1$ año hoy. Hoy es el primero de los $9$ cumpleaños en los que la edad de Chloe será un múltiplo entero de la edad de Zoe. ¿Cuál será la suma de los dos dígitos de la edad de Joey la próxima vez que su edad sea un múltiplo de la edad de Zoe?

Joey and Chloe and their daughter Zoe all have the same birthday. Joey is $1$ year older than Chloe, and Zoe is exactly $1$ year old today. Today is the first of the $9$ birthdays on which Chloe's age will be an integral multiple of Zoe's age. What will be the sum of the two digits of Joey's age the next time his age is a multiple of Zoe's age?

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Conceptos:conteo de factores divisibilidad

Nivel de dificultad: 1870

Solución:

Sea $n$ la edad de Chloe hoy, de modo que ella es $n-1$ años mayor que Zoe. Dentro de $y$ años, la edad de Chloe $n+y$ es un múltiplo de la edad de Zoe $1+y$ exactamente cuando $1+y$ divide a $n-1.$ Tener $9$ de esos cumpleaños significa que $n-1$ tiene exactamente $9$ divisores.

Un número con exactamente $9$ divisores tiene la forma $p^2q^2$ o $p^8;$ el único caso de dos dígitos es $2^2\cdot3^2=36.$ Así que Chloe tiene $37$ y Joey tiene $38.$

La edad de Joey $38+y$ es un múltiplo de $1+y$ exactamente cuando $1+y$ divide a $37.$ La próxima vez es $y=36,$ lo que hace a Joey de $74,$ con suma de dígitos $7+4=11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let Chloe be $n$ today, so she is $n-1$ years older than Zoe. In $y$ years Chloe's age $n+y$ is a multiple of Zoe's age $1+y$ exactly when $1+y$ divides $n-1.$ Having $9$ such birthdays means $n-1$ has exactly $9$ divisors.

A number with exactly $9$ divisors has the form $p^2q^2$ or $p^8;$ the only two-digit case is $2^2\cdot3^2=36.$ So Chloe is $37$ and Joey is $38.$

Joey's age $38+y$ is a multiple of $1+y$ exactly when $1+y$ divides $37.$ The next time is $y=36,$ making Joey $74,$ with digit sum $7+4=11.$

Thus, the correct answer is E.

15.

¿Cuántos enteros positivos impares de $3$ dígitos que son múltiplos de $3$ no incluyen el dígito $3$ ?

How many $3$ -digit positive odd multiples of $3$ do not include the digit $3?$

$96$

$97$

$98$

$102$

$120$

Conceptos:dígitos divisibilidad principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1930

Solución:

Escribe el número como $\overline{abc}.$ El dígito de las centenas $a$ tiene $8$ opciones ( $1,2,4,5,6,7,8,9$ ), y el dígito de las unidades $c$ tiene $4$ opciones ( $1,5,7,9$ ).

El dígito de las decenas $b$ puede ser cualquiera de $\{0,1,2,4,5,6,7,8,9\}.$ Estos se reparten en tres clases de residuo módulo $3$ de igual tamaño $\{0,6,9\},\{1,4,7\},\{2,5,8\},$ así que exactamente $3$ opciones de $b$ hacen que $a+b+c$ sea divisible entre $3.$

El total es $8\cdot4\cdot3=96.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Write the number as $\overline{abc}.$ The hundreds digit $a$ has $8$ choices ( $1,2,4,5,6,7,8,9$ ), and the units digit $c$ has $4$ choices ( $1,5,7,9$ ).

The tens digit $b$ may be any of $\{0,1,2,4,5,6,7,8,9\}.$ These split into three residue classes mod $3$ of equal size $\{0,6,9\},\{1,4,7\},\{2,5,8\},$ so exactly $3$ choices of $b$ make $a+b+c$ divisible by $3.$

The count is $8\cdot4\cdot3=96.$

Thus, the correct answer is A.

16.

Las soluciones de la ecuación $(z+6)^8=81$ se conectan en el plano complejo para formar un polígono regular convexo, tres de cuyos vértices se marcan $A,$ $B,$ y $C.$ ¿Cuál es la menor área posible del $\triangle ABC$ ?

The solutions to the equation $(z+6)^8=81$ are connected in the complex plane to form a convex regular polygon, three of whose vertices are labeled $A,$ $B,$ and $C.$ What is the least possible area of $\triangle ABC?$

$\dfrac{1}{6}\sqrt{6}$

$\dfrac{3}{2}\sqrt{2}-\dfrac{3}{2}$

$2\sqrt{3}-2\sqrt{2}$

$\dfrac{1}{2}\sqrt{2}$

$\sqrt{3}-1$

Conceptos:raíces de la unidad polígono regular área del triángulo

Nivel de dificultad: 1990

Solución:

Trasladando en $6,$ las soluciones de $z^8=81$ son ocho puntos sobre un círculo de radio $81^{1/8}=\sqrt3,$ que forman un octágono regular. El triángulo de área mínima usa tres vértices consecutivos.

Toma $A=\left(\tfrac12\sqrt6,\tfrac12\sqrt6\right),$ $B=(\sqrt3,0),$ y $C=\left(\tfrac12\sqrt6,-\tfrac12\sqrt6\right).$ Entonces $AC=\sqrt6$ y la altura es $\sqrt3-\tfrac12\sqrt6,$ así que el área es $\begin{gathered} \tfrac12\cdot\sqrt6\left(\sqrt3-\tfrac12\sqrt6\right) \\ =\tfrac{3}{2}\sqrt2-\tfrac{3}{2}. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Translating by $6,$ the solutions of $z^8=81$ are eight points on a circle of radius $81^{1/8}=\sqrt3,$ forming a regular octagon. The minimum-area triangle uses three consecutive vertices.

Take $A=\left(\tfrac12\sqrt6,\tfrac12\sqrt6\right),$ $B=(\sqrt3,0),$ and $C=\left(\tfrac12\sqrt6,-\tfrac12\sqrt6\right).$ Then $AC=\sqrt6$ and the height is $\sqrt3-\tfrac12\sqrt6,$ so the area is $\begin{gathered} \tfrac12\cdot\sqrt6\left(\sqrt3-\tfrac12\sqrt6\right) \\ =\tfrac{3}{2}\sqrt2-\tfrac{3}{2}. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

17.

Sean $p$ y $q$ enteros positivos tales que $\dfrac{5}{9}\lt\dfrac{p}{q}\lt\dfrac{4}{7}$ y $q$ sea lo más pequeño posible. ¿Cuánto vale $q-p$ ?

Let $p$ and $q$ be positive integers such that $\dfrac{5}{9}\lt\dfrac{p}{q}\lt\dfrac{4}{7}$ and $q$ is as small as possible. What is $q-p?$

$7$

$11$

$13$

$17$

$19$

Conceptos:fracción desigualdad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2090

Solución:

De $\tfrac59\lt\tfrac pq$ obtenemos $9p-5q\ge1,$ y de $\tfrac pq\lt\tfrac47$ obtenemos $4q-7p\ge1.$ Ahora $\begin{gathered} \dfrac{1}{63}=\dfrac47-\dfrac59 \\ =\dfrac{4q-7p}{7q}+\dfrac{9p-5q}{9q} \\ \ge\dfrac{1}{7q}+\dfrac{1}{9q} \\ =\dfrac{16}{63q}. \end{gathered}$

Por lo tanto $q\ge16.$ Con $q=16,$ la fracción $\tfrac{9}{16}$ está estrictamente entre $\tfrac59$ y $\tfrac47,$ así que $p=9$ y $q-p=16-9=7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

From $\tfrac59\lt\tfrac pq$ we get $9p-5q\ge1,$ and from $\tfrac pq\lt\tfrac47$ we get $4q-7p\ge1.$ Now $\begin{gathered} \dfrac{1}{63}=\dfrac47-\dfrac59 \\ =\dfrac{4q-7p}{7q}+\dfrac{9p-5q}{9q} \\ \ge\dfrac{1}{7q}+\dfrac{1}{9q} \\ =\dfrac{16}{63q}. \end{gathered}$

Hence $q\ge16.$ With $q=16,$ the fraction $\tfrac{9}{16}$ lies strictly between $\tfrac59$ and $\tfrac47,$ so $p=9$ and $q-p=16-9=7.$

Thus, the correct answer is A.

18.

Una función $f$ se define recursivamente por $f(1)=f(2)=1$ y $f(n)=f(n-1)-f(n-2)+n$ para todos los enteros $n\ge3.$ ¿Cuánto vale $f(2018)$ ?

A function $f$ is defined recursively by $f(1)=f(2)=1$ and $f(n)=f(n-1)-f(n-2)+n$ for all integers $n\ge3.$ What is $f(2018)?$

$2016$

$2017$

$2018$

$2019$

$2020$

Conceptos:recursión telescópica

Nivel de dificultad: 2150

Solución:

Sustituyendo repetidamente la recursión en sí misma se obtiene $f(n)=f(n-6)+6.$ Así que $f$ aumenta en $6$ cada vez que $n$ aumenta en $6.$

Como $2018=2+6\cdot336,$ tenemos $f(2018)=f(2)+6\cdot336$ $=1+2016=2017.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Repeatedly substituting the recursion into itself gives $f(n)=f(n-6)+6.$ So $f$ increases by $6$ every time $n$ increases by $6.$

Since $2018=2+6\cdot336,$ we have $f(2018)=f(2)+6\cdot336$ $=1+2016=2017.$

Thus, the correct answer is B.

19.

Mary eligió un número par de $4$ dígitos $n.$ Escribió todos los divisores de $n$ en orden creciente de izquierda a derecha: $1, 2, \ldots, \tfrac{n}{2}, n.$ En cierto momento Mary escribió $323$ como divisor de $n.$ ¿Cuál es el menor valor posible del siguiente divisor escrito a la derecha de $323$ ?

Mary chose an even $4$ -digit number $n.$ She wrote down all the divisors of $n$ in increasing order from left to right: $1, 2, \ldots, \tfrac{n}{2}, n.$ At some moment Mary wrote $323$ as a divisor of $n.$ What is the smallest possible value of the next divisor written to the right of $323?$

$324$

$330$

$340$

$361$

$646$

Conceptos:divisibilidad máximo común divisor factorización en primos

Nivel de dificultad: 2170

Solución:

Sea $d$ el siguiente divisor después de $323.$ Si $\gcd(d,323)=1,$ entonces $323d$ divide a $n,$ obligando a que $n\ge323d\gt323^2\gt9999,$ imposible para un número de $4$ dígitos. Así que $d$ comparte un factor primo con $323=17\cdot19.$

Entonces $d-323\ge\gcd(d,323)\ge17,$ así que $d\ge340.$ En efecto, $d=340=17\cdot20$ ocurre para $n=17\cdot19\cdot20=6460,$ que es par y de $4$ dígitos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $d$ be the next divisor after $323.$ If $\gcd(d,323)=1,$ then $323d$ divides $n,$ forcing $n\ge323d\gt323^2\gt9999,$ impossible for a $4$ -digit number. So $d$ shares a prime factor with $323=17\cdot19.$

Then $d-323\ge\gcd(d,323)\ge17,$ so $d\ge340.$ Indeed $d=340=17\cdot20$ occurs for $n=17\cdot19\cdot20=6460,$ which is even and $4$ -digit.

Thus, the correct answer is C.

20.

Sea $ABCDEF$ un hexágono regular de lado $1.$ Denota por $X,$ $Y,$ y $Z$ los puntos medios de los lados $AB,$ $CD,$ y $EF,$ respectivamente. ¿Cuál es el área del hexágono convexo cuyo interior es la intersección de los interiores de $\triangle ACE$ y $\triangle XYZ$ ?

Let $ABCDEF$ be a regular hexagon with side length $1.$ Denote by $X,$ $Y,$ and $Z$ the midpoints of sides $AB,$ $CD,$ and $EF,$ respectively. What is the area of the convex hexagon whose interior is the intersection of the interiors of $\triangle ACE$ and $\triangle XYZ?$

$\dfrac{3}{8}\sqrt{3}$

$\dfrac{7}{16}\sqrt{3}$

$\dfrac{15}{32}\sqrt{3}$

$\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$

$\dfrac{9}{16}\sqrt{3}$

Conceptos:polígono regular razón de áreas triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 2270

Solución:

Tanto $\triangle ACE$ como $\triangle XYZ$ son equiláteros, y $\triangle ACE$ tiene la mitad del área del hexágono. Los vértices donde los dos triángulos se cortan permiten medir el hexágono sombreado respecto al triángulo de puntos medios $U$ de $\triangle ACE.$

Ese triángulo de puntos medios tiene $\tfrac14$ del área de $\triangle ACE,$ por lo tanto $\tfrac18$ del hexágono. La región sombreada es igual a $\tfrac52$ del triángulo de puntos medios, así que es $\tfrac52\cdot\tfrac18=\tfrac{5}{16}$ del hexágono.

El hexágono tiene área $6\cdot\tfrac{\sqrt3}{4}\cdot1^2=\tfrac{3\sqrt3}{2},$ así que el área sombreada es $\tfrac{5}{16}\cdot\tfrac{3\sqrt3}{2}=\tfrac{15}{32}\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Both $\triangle ACE$ and $\triangle XYZ$ are equilateral, and $\triangle ACE$ has half the area of the hexagon. The vertices where the two triangles cut each other let the shaded hexagon be measured against the midpoint triangle $U$ of $\triangle ACE.$

That midpoint triangle has $\tfrac14$ the area of $\triangle ACE,$ hence $\tfrac18$ of the hexagon. The shaded region equals $\tfrac52$ of the midpoint triangle, so it is $\tfrac52\cdot\tfrac18=\tfrac{5}{16}$ of the hexagon.

The hexagon has area $6\cdot\tfrac{\sqrt3}{4}\cdot1^2=\tfrac{3\sqrt3}{2},$ so the shaded area is $\tfrac{5}{16}\cdot\tfrac{3\sqrt3}{2}=\tfrac{15}{32}\sqrt3.$

Thus, the correct answer is C.

21.

En el $\triangle ABC$ con longitudes de lado $AB=13,$ $AC=12,$ y $BC=5,$ sean $O$ e $I$ el circuncentro y el incentro, respectivamente. Un círculo con centro $M$ es tangente a los catetos $AC$ y $BC$ y a la circunferencia circunscrita del $\triangle ABC.$ ¿Cuál es el área del $\triangle MOI$ ?

In $\triangle ABC$ with side lengths $AB=13,$ $AC=12,$ and $BC=5,$ let $O$ and $I$ denote the circumcenter and incenter, respectively. A circle with center $M$ is tangent to the legs $AC$ and $BC$ and to the circumcircle of $\triangle ABC.$ What is the area of $\triangle MOI?$

$\dfrac{5}{2}$

$\dfrac{11}{4}$

$3$

$\dfrac{13}{4}$

$\dfrac{7}{2}$

Conceptos:geometría analítica circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio circunferencia inscrita, incentro e inradio circunferencias tangentes

Nivel de dificultad: 2360

Solución:

Como $5^2+12^2=13^2,$ el triángulo es rectángulo en $C.$ Pon $C=(0,0),$ $A=(12,0),$ y $B=(0,5).$ Entonces $O$ es el punto medio de $\overline{AB},$ es decir $O=\left(6,\tfrac52\right),$ con circunradio $\tfrac{13}{2}.$ El inradio es $\tfrac{\text{area}}{s}=\tfrac{30}{15}=2,$ por lo que $I=(2,2).$

Como el círculo de $M$ es tangente a ambos catetos, $M=(\rho,\rho).$ La tangencia interna con la circunferencia circunscrita da $MO=\tfrac{13}{2}-\rho.$ Igualando esto a $\sqrt{(\rho-6)^2+\left(\rho-\tfrac52\right)^2}$ y resolviendo se obtiene $\rho=4,$ por lo que $M=(4,4).$

La fórmula del cordón de zapato sobre $M=(4,4),$ $O=\left(6,\tfrac52\right),$ $I=(2,2)$ da un área de $\tfrac72.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $5^2+12^2=13^2,$ the triangle is right-angled at $C.$ Set $C=(0,0),$ $A=(12,0),$ and $B=(0,5).$ Then $O$ is the midpoint of $\overline{AB},$ namely $O=\left(6,\tfrac52\right),$ with circumradius $\tfrac{13}{2}.$ The inradius is $\tfrac{\text{area}}{s}=\tfrac{30}{15}=2,$ so $I=(2,2).$

Because $M$ 's circle is tangent to both legs, $M=(\rho,\rho).$ Internal tangency to the circumcircle gives $MO=\tfrac{13}{2}-\rho.$ Setting this equal to $\sqrt{(\rho-6)^2+\left(\rho-\tfrac52\right)^2}$ and solving gives $\rho=4,$ so $M=(4,4).$

The shoelace formula on $M=(4,4),$ $O=\left(6,\tfrac52\right),$ $I=(2,2)$ gives area $\tfrac72.$

Thus, the correct answer is E.

22.

Considera polinomios $P(x)$ de grado a lo sumo $3,$ cada uno de cuyos coeficientes es un elemento de $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}.$ ¿Cuántos de esos polinomios satisfacen $P(-1)=-9$ ?

Consider polynomials $P(x)$ of degree at most $3,$ each of whose coefficients is an element of $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}.$ How many such polynomials satisfy $P(-1)=-9?$

$110$

$143$

$165$

$220$

$286$

Conceptos:estrellas y barras sustitución

Nivel de dificultad: 2330

Solución:

Escribe $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ con cada uno de $a,b,c,d$ en $\{0,\ldots,9\}.$ La condición es $-a+b-c+d=-9.$

Sea $a'=9-a$ y $c'=9-c,$ ambos en $[0,9].$ Entonces $a'+b+c'+d=9.$ Por el método de estrellas y barras, el número de soluciones no negativas es $\binom{9+3}{3}=\binom{12}{3}=220,$ y cada una satisface automáticamente las cotas superiores, ya que la suma es $9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Write $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ with each of $a,b,c,d$ in $\{0,\ldots,9\}.$ The condition is $-a+b-c+d=-9.$

Let $a'=9-a$ and $c'=9-c,$ both in $[0,9].$ Then $a'+b+c'+d=9.$ By stars and bars the number of nonnegative solutions is $\binom{9+3}{3}=\binom{12}{3}=220,$ and each automatically satisfies the upper bounds since the sum is $9.$

Thus, the correct answer is D.

23.

Ajay está de pie en el punto $A$ cerca de Pontianak, Indonesia, a $0^\circ$ de latitud y $110^\circ$ de longitud E. Billy está de pie en el punto $B$ cerca de Big Baldy Mountain, Idaho, EE. UU., a $45^\circ$ N de latitud y $115^\circ$ O de longitud. Supongamos que la Tierra es una esfera perfecta con centro $C.$ ¿Cuál es la medida en grados del $\angle ACB$ ?

Ajay is standing at point $A$ near Pontianak, Indonesia, $0^\circ$ latitude and $110^\circ$ E longitude. Billy is standing at point $B$ near Big Baldy Mountain, Idaho, USA, $45^\circ$ N latitude and $115^\circ$ W longitude. Assume that Earth is a perfect sphere with center $C.$ What is the degree measure of $\angle ACB?$

$105$

$112\tfrac{1}{2}$

$120$

$135$

$150$

Conceptos:Geometría 3D esfera vector

Nivel de dificultad: 2400

Solución:

Las longitudes difieren en $360^\circ-(110^\circ+115^\circ)=135^\circ,$ y $B$ está a latitud $45^\circ$ N. Coloca $A=(1,0,0)$ sobre la esfera unitaria.

Entonces $B=\tiny\left(\cos45^\circ\cos135^\circ,\ \cos45^\circ\sin135^\circ,\ \sin45^\circ\right)$ $=\left(-\tfrac12,\tfrac12,\tfrac{\sqrt2}{2}\right).$ El producto punto es $A\cdot B=-\tfrac12,$ así que $\cos\angle ACB=-\tfrac12$ y $\angle ACB=120^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The longitudes differ by $360^\circ-(110^\circ+115^\circ)=135^\circ,$ and $B$ is at latitude $45^\circ$ N. Place $A=(1,0,0)$ on the unit sphere.

Then $B=\tiny\left(\cos45^\circ\cos135^\circ,\ \cos45^\circ\sin135^\circ,\ \sin45^\circ\right)$ $=\left(-\tfrac12,\tfrac12,\tfrac{\sqrt2}{2}\right).$ The dot product is $A\cdot B=-\tfrac12,$ so $\cos\angle ACB=-\tfrac12$ and $\angle ACB=120^\circ.$

Thus, the correct answer is C.

24.

Sea $\lfloor x\rfloor$ el mayor entero menor o igual que $x.$ ¿Cuántos números reales $x$ satisfacen la ecuación $x^2+10{,}000\lfloor x\rfloor=10{,}000x$ ?

Let $\lfloor x\rfloor$ denote the greatest integer less than or equal to $x.$ How many real numbers $x$ satisfy the equation $x^2+10{,}000\lfloor x\rfloor=10{,}000x?$

$197$

$198$

$199$

$200$

$201$

Conceptos:funciones piso y techo conteo de intersecciones

Nivel de dificultad: 2500

Solución:

Sea $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor.$ La ecuación se convierte en $x^2=10{,}000\{x\},$ así que $\tfrac{x^2}{10{,}000}=\{x\}.$ Como $0\le\{x\}\lt1,$ necesitamos $0\le x^2\lt10{,}000,$ es decir $-100\lt x\lt100.$

En cada intervalo $[k,k+1)$ , escribe $x=k+t$ con $0\le t\lt1$ . La ecuación se convierte en $(k+t)^2-10{,}000t=0$ , cuyo lado izquierdo es estrictamente decreciente y cambia de signo exactamente una vez. Estos intervalos van para $k=-100,-99,\ldots,98,$ dando $199$ soluciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor.$ The equation becomes $x^2=10{,}000\{x\},$ so $\tfrac{x^2}{10{,}000}=\{x\}.$ Since $0\le\{x\}\lt1,$ we need $0\le x^2\lt10{,}000,$ i.e. $-100\lt x\lt100.$

On each interval $[k,k+1)$ , write $x=k+t$ with $0\le t\lt1$ . The equation becomes $(k+t)^2-10{,}000t=0$ , whose left side is strictly decreasing and changes sign exactly once. These intervals run for $k=-100,-99,\ldots,98,$ giving $199$ solutions.

Thus, the correct answer is C.

25.

Los círculos $\omega_1,$ $\omega_2,$ y $\omega_3$ tienen cada uno radio $4$ y están colocados en el plano de modo que cada círculo es tangente externamente a los otros dos. Los puntos $P_1,$ $P_2,$ y $P_3$ están sobre $\omega_1,$ $\omega_2,$ y $\omega_3,$ respectivamente, de modo que $P_1P_2=P_2P_3=P_3P_1$ y la recta $P_iP_{i+1}$ es tangente a $\omega_i$ para cada $i=1,2,3,$ donde $P_4=P_1.$ Ver la figura de abajo. El área del $\triangle P_1P_2P_3$ se puede escribir en la forma $\sqrt{a}+\sqrt{b},$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos. ¿Cuánto vale $a+b$ ?

Circles $\omega_1,$ $\omega_2,$ and $\omega_3$ each have radius $4$ and are placed in the plane so that each circle is externally tangent to the other two. Points $P_1,$ $P_2,$ and $P_3$ lie on $\omega_1,$ $\omega_2,$ and $\omega_3,$ respectively, so that $P_1P_2=P_2P_3=P_3P_1$ and line $P_iP_{i+1}$ is tangent to $\omega_i$ for each $i=1,2,3,$ where $P_4=P_1.$ See the figure below. The area of $\triangle P_1P_2P_3$ can be written in the form $\sqrt{a}+\sqrt{b},$ where $a$ and $b$ are positive integers. What is $a+b?$

$546$

$548$

$550$

$552$

$554$

Conceptos:circunferencias tangentes triángulo rectángulo especial ley de los cosenos triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 2840

Solución:

Sea $O_i$ el centro de $\omega_i,$ y sea $K$ la intersección de las rectas $O_1P_1$ y $O_2P_2.$ Como $\angle P_1P_2P_3=60^\circ,$ el triángulo $P_2KP_1$ es un triángulo $30$ - $60$ - $90^\circ$ . Con $d=P_1K,$ obtenemos $P_2K=2d$ y $P_1P_2=\sqrt3\,d.$

La ley de cosenos en el $\triangle O_1KO_2$ (con $O_1O_2=8$ ) da $\begin{gathered} 8^2=(d+4)^2+(2d-4)^2 \\ {}-2(d+4)(2d-4)\cos60^\circ, \end{gathered}$ que se simplifica a $3d^2-12d-16=0,$ por lo que $d=2+\tfrac23\sqrt{21}.$

Entonces $P_1P_2=\sqrt3\,d=2\sqrt3+2\sqrt7,$ y el área es $\begin{gathered} \dfrac{\sqrt3}{4}\left(2\sqrt3+2\sqrt7\right)^2 \\ =10\sqrt3+6\sqrt7 \\ =\sqrt{300}+\sqrt{252}. \end{gathered}$

Así que $a+b=300+252=552.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $O_i$ be the center of $\omega_i,$ and let $K$ be the intersection of lines $O_1P_1$ and $O_2P_2.$ Because $\angle P_1P_2P_3=60^\circ,$ triangle $P_2KP_1$ is a $30$ - $60$ - $90^\circ$ triangle. With $d=P_1K,$ we get $P_2K=2d$ and $P_1P_2=\sqrt3\,d.$

The Law of Cosines in $\triangle O_1KO_2$ (with $O_1O_2=8$ ) gives $\begin{gathered} 8^2=(d+4)^2+(2d-4)^2 \\ {}-2(d+4)(2d-4)\cos60^\circ, \end{gathered}$ which simplifies to $3d^2-12d-16=0,$ so $d=2+\tfrac23\sqrt{21}.$

Then $P_1P_2=\sqrt3\,d=2\sqrt3+2\sqrt7,$ and the area is $\begin{gathered} \dfrac{\sqrt3}{4}\left(2\sqrt3+2\sqrt7\right)^2 \\ =10\sqrt3+6\sqrt7 \\ =\sqrt{300}+\sqrt{252}. \end{gathered}$

So $a+b=300+252=552.$

Thus, the correct answer is D.