Question

La gráfica de abajo muestra una parte de la curva definida por el polinomio de cuarto grado $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d.$ ¿Cuál de los siguientes es el menor?

The graph below shows a portion of the curve defined by the quartic polynomial $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d.$ Which of the following is the smallest?

$P(-1)$

El producto de los ceros de $P$

The product of the zeros of $P$

El producto de los ceros no reales de $P$

The product of the non-real zeros of $P$

La suma de los coeficientes de $P$

The sum of the coefficients of $P$

La suma de los ceros reales de $P$

The sum of the real zeros of $P$

Solución:

La gráfica cruza el eje $x$ exactamente dos veces, ambas en valores positivos, así que $P$ tiene dos ceros reales y dos ceros no reales (complejos conjugados).

Leyendo de la gráfica: la suma de los coeficientes es $P(1) \gt 3;$ $P(-1) \gt 4;$ la suma de los ceros reales es mayor que $4.5;$ y el producto de todos los ceros es $d,$ la intersección con el eje $y$ , que es menor que $6.$

Sea $R$ el producto de los ceros reales, así que $R \gt 4.5$ . El producto de los ceros no reales es $\dfrac dR$ , que es menor que $\dfrac{6}{4.5} \lt 2.$

Esto es menor que todas las demás cantidades listadas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The graph crosses the $x$ -axis exactly twice, both times at positive values, so $P$ has two real zeros and two non-real (complex conjugate) zeros.

Reading off the graph: the sum of the coefficients is $P(1) \gt 3;$ $P(-1) \gt 4;$ the sum of the real zeros is greater than $4.5;$ and the product of all zeros is $d,$ the $y$ -intercept, which is less than $6.$

Let $R$ be the product of the real zeros, so $R \gt 4.5$ . The product of the non-real zeros is $\dfrac dR$ , which is less than $\dfrac{6}{4.5} \lt 2.$

This is smaller than every other listed quantity.

Thus, the correct answer is C.

2000 AMC 12 Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años