Question

Por un punto en la hipotenusa de un triángulo rectángulo se trazan rectas paralelas a los catetos del triángulo, de modo que el triángulo queda dividido en un cuadrado y dos triángulos rectángulos más pequeños. El área de uno de los dos triángulos rectángulos pequeños es $m$ veces el área del cuadrado. ¿Cuál es la razón entre el área del otro triángulo rectángulo pequeño y el área del cuadrado?

Through a point on the hypotenuse of a right triangle, lines are drawn parallel to the legs of the triangle so that the triangle is divided into a square and two smaller right triangles. The area of one of the two small right triangles is $m$ times the area of the square. What is the ratio of the area of the other small right triangle to the area of the square?

$\dfrac{1}{2m + 1}$

$m$

$1 - m$

$\dfrac{1}{4m}$

$\dfrac{1}{8m^2}$

Solución:

Sea el cuadrado de lado $1.$ El triángulo pequeño que comparte un lado del cuadrado tiene un cateto perpendicular $r,$ así que su área es $\tfrac12 \cdot 1 \cdot r = m,$ dando $r = 2m.$

Los dos triángulos pequeños son semejantes, así que el cateto del otro triángulo a lo largo del cuadrado es $\dfrac1r,$ y su área es $\frac12 \cdot 1 \cdot \frac1r = \frac{1}{2r} = \frac{1}{4m}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the square have side $1.$ The small triangle sharing one side of the square has a perpendicular leg $r,$ so its area is $\tfrac12 \cdot 1 \cdot r = m,$ giving $r = 2m.$

The two small triangles are similar, so the other triangle's leg along the square is $\dfrac1r,$ and its area is $\frac12 \cdot 1 \cdot \frac1r = \frac{1}{2r} = \frac{1}{4m}.$

Thus, the correct answer is D.

2000 AMC 12 Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años