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2024 AMC 12B Problema 21

A continuación está la solución preparada profesionalmente para el Problema 21 del 2024 AMC 12B, de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2024 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

Conceptos:identidad trigonométricaTerna pitagórica

Nivel de dificultad: 2130

21.

Las medidas de los ángulos más pequeños de tres triángulos rectángulos diferentes suman 90∘.90^\circ. Los tres triángulos tienen longitudes de lado que son ternas pitagóricas primitivas. Dos de ellos son 33-44-55 y 55-1212-13.13. ¿Cuál es el perímetro del tercer triángulo?

The measures of the smallest angles of three different right triangles sum to 90∘.90^\circ. All three triangles have side lengths that are primitive Pythagorean triples. Two of them are 33-44-55 and 55-1212-13.13. What is the perimeter of the third triangle?

4040

126126

154154

176176

208208

Solución:

Los ángulos más pequeños α,β\alpha, \beta de los triángulos 33-44-55 y 55-1212-1313 tienen tan⁡α=34\tan\alpha = \tfrac34 y tan⁡β=512.\tan\beta = \tfrac{5}{12}. Por la fórmula de la tangente de la suma, tan⁡(α+β)=34+5121−34⋅512=14123348=5633. \begin{aligned} &\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tfrac34 + \tfrac{5}{12}}{1 - \tfrac34\cdot\tfrac{5}{12}} \\ &= \frac{\tfrac{14}{12}}{\tfrac{33}{48}} \\ &= \frac{56}{33}. \end{aligned}

El tercer ángulo más pequeño γ\gamma cumple γ=90∘−(α+β),\gamma = 90^\circ - (\alpha + \beta), así que tan⁡γ=3356.\tan\gamma = \dfrac{33}{56}. El triángulo rectángulo con catetos 3333 y 5656 tiene hipotenusa 332+562=4225=65,\sqrt{33^2 + 56^2} = \sqrt{4225} = 65, una terna primitiva. Su perímetro es 33+56+65=154.33 + 56 + 65 = 154.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The smallest angles α,β\alpha, \beta of the 33-44-55 and 55-1212-1313 triangles have tan⁡α=34\tan\alpha = \tfrac34 and tan⁡β=512.\tan\beta = \tfrac{5}{12}. By the tangent addition formula, tan⁡(α+β)=34+5121−34⋅512=14123348=5633. \begin{aligned} &\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tfrac34 + \tfrac{5}{12}}{1 - \tfrac34\cdot\tfrac{5}{12}} \\ &= \frac{\tfrac{14}{12}}{\tfrac{33}{48}} \\ &= \frac{56}{33}. \end{aligned}

The third smallest angle γ\gamma satisfies γ=90∘−(α+β),\gamma = 90^\circ - (\alpha + \beta), so tan⁡γ=3356.\tan\gamma = \dfrac{33}{56}. The right triangle with legs 3333 and 5656 has hypotenuse 332+562=4225=65,\sqrt{33^2 + 56^2} = \sqrt{4225} = 65, a primitive triple. Its perimeter is 33+56+65=154.33 + 56 + 65 = 154.

Thus, the correct answer is C.

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El Problema 21 en otros años

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