Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

Español

2024 AMC 12B Problema 21

Intenta el Problema 21 del 2024 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2024 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

21.

Las medidas de los ángulos más pequeños de tres triángulos rectángulos diferentes suman 90∘.90^\circ. Los tres triángulos tienen longitudes de lado que son ternas pitagóricas primitivas. Dos de ellos son 33-44-55 y 55-1212-13.13. ¿Cuál es el perímetro del tercer triángulo?

The measures of the smallest angles of three different right triangles sum to 90∘.90^\circ. All three triangles have side lengths that are primitive Pythagorean triples. Two of them are 33-44-55 and 55-1212-13.13. What is the perimeter of the third triangle?

4040

126126

154154

176176

208208

Respuesta: C
Conceptos:identidad trigonométricaTerna pitagórica
Nivel de dificultad: 2130
Pista pequeña:

Los ángulos más pequeños tienen tangentes 34\tfrac34 y 512;\tfrac{5}{12}; el tercero debe cumplir α+β+γ=90∘,\alpha + \beta + \gamma = 90^\circ, así que tan⁡γ=cot⁡(α+β)\tan\gamma = \cot(\alpha + \beta).

The smallest angles have tangents 34\tfrac34 and 512;\tfrac{5}{12}; the third must satisfy α+β+γ=90∘,\alpha + \beta + \gamma = 90^\circ, so tan⁡γ=cot⁡(α+β)\tan\gamma = \cot(\alpha + \beta)

Pista grande:

Calcula tan⁡(α+β)=5633,\tan(\alpha + \beta) = \dfrac{56}{33}, así que tan⁡γ=3356;\tan\gamma = \dfrac{33}{56}; encuentra la terna primitiva con catetos 3333 y 5656.

Compute tan⁡(α+β)=5633,\tan(\alpha + \beta) = \dfrac{56}{33}, so tan⁡γ=3356;\tan\gamma = \dfrac{33}{56}; find the primitive triple with legs 3333 and 5656

Solución:

Los ángulos más pequeños α,β\alpha, \beta de los triángulos 33-44-55 y 55-1212-1313 tienen tan⁡α=34\tan\alpha = \tfrac34 y tan⁡β=512.\tan\beta = \tfrac{5}{12}. Por la fórmula de la tangente de la suma, tan⁡(α+β)=34+5121−34⋅512=14123348=5633. \begin{aligned} &\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tfrac34 + \tfrac{5}{12}}{1 - \tfrac34\cdot\tfrac{5}{12}} \\ &= \frac{\tfrac{14}{12}}{\tfrac{33}{48}} \\ &= \frac{56}{33}. \end{aligned}

El tercer ángulo más pequeño γ\gamma cumple γ=90∘−(α+β),\gamma = 90^\circ - (\alpha + \beta), así que tan⁡γ=3356.\tan\gamma = \dfrac{33}{56}. El triángulo rectángulo con catetos 3333 y 5656 tiene hipotenusa 332+562=4225=65,\sqrt{33^2 + 56^2} = \sqrt{4225} = 65, una terna primitiva. Su perímetro es 33+56+65=154.33 + 56 + 65 = 154.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The smallest angles α,β\alpha, \beta of the 33-44-55 and 55-1212-1313 triangles have tan⁡α=34\tan\alpha = \tfrac34 and tan⁡β=512.\tan\beta = \tfrac{5}{12}. By the tangent addition formula, tan⁡(α+β)=34+5121−34⋅512=14123348=5633. \begin{aligned} &\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tfrac34 + \tfrac{5}{12}}{1 - \tfrac34\cdot\tfrac{5}{12}} \\ &= \frac{\tfrac{14}{12}}{\tfrac{33}{48}} \\ &= \frac{56}{33}. \end{aligned}

The third smallest angle γ\gamma satisfies γ=90∘−(α+β),\gamma = 90^\circ - (\alpha + \beta), so tan⁡γ=3356.\tan\gamma = \dfrac{33}{56}. The right triangle with legs 3333 and 5656 has hypotenuse 332+562=4225=65,\sqrt{33^2 + 56^2} = \sqrt{4225} = 65, a primitive triple. Its perimeter is 33+56+65=154.33 + 56 + 65 = 154.

Thus, the correct answer is C.

Problema 20#20
Examen completo
Problema 22#22

El Problema 21 en otros años

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B