Question

Existe una única terna ordenada $(a, k, m)$ de enteros no negativos tal que

$\begin{aligned} &\small \frac{4^a + 4^{a+k} + 4^{a+2k} + \cdots + 4^{a+mk}}{2^a + 2^{a+k} + 2^{a+2k} + \cdots + 2^{a+mk}} \\ &= 964. \end{aligned}$

¿Cuánto vale $a + k + m$ ?

There is a unique ordered triple $(a, k, m)$ of nonnegative integers such that

$\begin{aligned} &\small \frac{4^a + 4^{a+k} + 4^{a+2k} + \cdots + 4^{a+mk}}{2^a + 2^{a+k} + 2^{a+2k} + \cdots + 2^{a+mk}} \\ &= 964. \end{aligned}$

What is $a + k + m?$

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

Solución:

Sumando las series geométricas, el numerador es $4^a\dfrac{4^{k(m+1)} - 1}{4^k - 1}$ y el denominador es $2^a\dfrac{2^{k(m+1)} - 1}{2^k - 1}.$ Usando $4^N - 1 = (2^N - 1)(2^N + 1),$ el cociente se simplifica a $2^a \cdot \frac{2^{k(m+1)} + 1}{2^k + 1} = 964.$

Como $964 = 4 \cdot 241,$ toma $a = 2,$ así que $\dfrac{2^{k(m+1)} + 1}{2^k + 1} = 241.$ Con $k = 4,$ $241(2^4 + 1) = 241 \cdot 17$ $= 4097 = 2^{12} + 1,$ así que $k(m+1) = 12$ y $m = 2.$

Entonces $a + k + m = 2 + 4 + 2 = 8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Summing the geometric series, the numerator is $4^a\dfrac{4^{k(m+1)} - 1}{4^k - 1}$ and the denominator is $2^a\dfrac{2^{k(m+1)} - 1}{2^k - 1}.$ Using $4^N - 1 = (2^N - 1)(2^N + 1),$ the ratio simplifies to $2^a \cdot \frac{2^{k(m+1)} + 1}{2^k + 1} = 964.$

Since $964 = 4 \cdot 241,$ take $a = 2,$ so $\dfrac{2^{k(m+1)} + 1}{2^k + 1} = 241.$ With $k = 4,$ $241(2^4 + 1) = 241 \cdot 17$ $= 4097 = 2^{12} + 1,$ so $k(m+1) = 12$ and $m = 2.$

Then $a + k + m = 2 + 4 + 2 = 8.$

Thus, the correct answer is A.

2025 AMC 12A Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años