Question

Existe una única terna ordenada $(a, k, m)$ de enteros no negativos tal que

$\begin{aligned} &\small \frac{4^a + 4^{a+k} + 4^{a+2k} + \cdots + 4^{a+mk}}{2^a + 2^{a+k} + 2^{a+2k} + \cdots + 2^{a+mk}} \\ &= 964. \end{aligned}$

¿Cuánto vale $a + k + m$ ?

There is a unique ordered triple $(a, k, m)$ of nonnegative integers such that

$\begin{aligned} &\small \frac{4^a + 4^{a+k} + 4^{a+2k} + \cdots + 4^{a+mk}}{2^a + 2^{a+k} + 2^{a+2k} + \cdots + 2^{a+mk}} \\ &= 964. \end{aligned}$

What is $a + k + m?$

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

Respuesta: A

Conceptos:sucesión geométrica exponente factorización

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

Suma ambas series geométricas y usa $4^N - 1 = (2^N - 1)(2^N + 1)$

Sum both geometric series and use $4^N - 1 = (2^N - 1)(2^N + 1)$

Pista grande:

La fracción restante es impar sobre impar, así que comparar las potencias de $2$ con $964=2^2\cdot241$ obliga a que $a=2$

The remaining fraction is odd over odd, so comparing powers of $2$ with $964=2^2\cdot241$ forces $a=2$

Solución:

Si $k=0$ o $m=0,$ la razón original es simplemente $2^a,$ que no puede ser $964.$ Por tanto, $k,m\gt0.$

Al sumar las series geométricas, el numerador es $4^a\dfrac{4^{k(m+1)} - 1}{4^k - 1}$ y el denominador es $2^a\dfrac{2^{k(m+1)} - 1}{2^k - 1}.$ Usando $4^N - 1 = (2^N - 1)(2^N + 1),$ la razón se simplifica a $2^a \cdot \frac{2^{k(m+1)} + 1}{2^k + 1} = 964.$

La fracción de la izquierda es impar sobre impar, así que su potencia de $2$ es $0.$ Como $964=2^2\cdot241,$ debemos tener $a=2,$ y $2^{k(m+1)}+1=241(2^k+1).$ Al reducir esta ecuación módulo $2^k$ , vemos que $240$ es divisible por $2^k,$ así que $k\le4.$ Para $k=1,2,3,$ las potencias requeridas de $2$ serían $722,1204,2168,$ ninguna de las cuales es potencia de $2.$ Para $k=4,$ en cambio, $241(2^4+1)=4097=2^{12}+1,$ así que $k(m+1)=12$ y $m=2.$ Esto también demuestra la unicidad.

Entonces $a + k + m = 2 + 4 + 2 = 8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If $k=0$ or $m=0,$ the original ratio is just $2^a,$ which cannot equal $964.$ Hence $k,m\gt0.$

Summing the geometric series, the numerator is $4^a\dfrac{4^{k(m+1)} - 1}{4^k - 1}$ and the denominator is $2^a\dfrac{2^{k(m+1)} - 1}{2^k - 1}.$ Using $4^N - 1 = (2^N - 1)(2^N + 1),$ the ratio simplifies to $2^a \cdot \frac{2^{k(m+1)} + 1}{2^k + 1} = 964.$

The fraction on the left is odd over odd, so its power of $2$ is $0.$ Since $964=2^2\cdot241,$ we must have $a=2,$ and $2^{k(m+1)}+1=241(2^k+1).$ Reducing this equation modulo $2^k$ shows that $240$ is divisible by $2^k,$ so $k\le4.$ For $k=1,2,3,$ the required powers of $2$ would be $722,1204,2168,$ none of which is a power of $2.$ For $k=4,$ however, $241(2^4+1)=4097=2^{12}+1,$ so $k(m+1)=12$ and $m=2.$ This also proves uniqueness.

Then $a + k + m = 2 + 4 + 2 = 8.$

Thus, the correct answer is A.

2025 AMC 12A Problema 21

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años