Question

Un círculo de radio $r$ pasa por ambos focos, y por exactamente cuatro puntos, de la elipse de ecuación $x^2 + 16y^2 = 16.$ El conjunto de todos los valores posibles de $r$ es un intervalo $[a, b].$ ¿Cuánto vale $a + b$ ?

A circle of radius $r$ passes through both foci of, and exactly four points on, the ellipse with equation $x^2 + 16y^2 = 16.$ The set of all possible values of $r$ is an interval $[a, b].$ What is $a + b?$

$5\sqrt{2} + 4$

$\sqrt{17} + 7$

$6\sqrt{2} + 3$

$\sqrt{15} + 8$

$12$

Solución:

La elipse $\dfrac{x^2}{16} + y^2 = 1$ tiene semiejes $4$ y $1,$ así que $c^2 = 16 - 1 = 15$ y los focos son $(\pm\sqrt{15}, 0).$

Un círculo que pasa por ambos focos tiene su centro en el eje $y$ , digamos $(0, k),$ con radio $\sqrt{k^2 + 15}.$ Su punto más alto siempre queda fuera de la elipse. Para tener cuatro puntos de intersección, su punto más bajo $(0, k - \sqrt{k^2 + 15})$ debe estar por debajo de $y = -1,$ lo que ocurre exactamente cuando $0 \le k \lt 7.$

Cuando $k$ recorre $[0, 7),$ el radio $\sqrt{k^2 + 15}$ recorre $[\sqrt{15}, 8),$ así que $a + b = \sqrt{15} + 8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The ellipse $\dfrac{x^2}{16} + y^2 = 1$ has semi-axes $4$ and $1,$ so $c^2 = 16 - 1 = 15$ and the foci are $(\pm\sqrt{15}, 0).$

A circle through both foci has its center on the $y$ -axis, say $(0, k),$ with radius $\sqrt{k^2 + 15}.$ Its top point always lies outside the ellipse. For four intersection points, its bottom point $(0, k - \sqrt{k^2 + 15})$ must be below $y = -1,$ which happens exactly when $0 \le k \lt 7.$

As $k$ ranges over $[0, 7),$ the radius $\sqrt{k^2 + 15}$ ranges over $[\sqrt{15}, 8),$ so $a + b = \sqrt{15} + 8.$

Thus, the correct answer is D.

2015 AMC 12A Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años