Question

Una pantalla de lámpara tiene la forma de la superficie lateral del tronco de un cono circular recto. La altura del tronco es $3\sqrt{3}$ pulgadas, su diámetro superior es $6$ pulgadas, y su diámetro inferior es $12$ pulgadas. Un insecto está en la parte inferior de la pantalla y hay una gota de miel en el borde superior de la pantalla, en el punto más alejado del insecto. El insecto quiere arrastrarse hasta la miel, pero debe permanecer sobre la superficie de la pantalla. ¿Cuál es la longitud en pulgadas de su trayectoria más corta hasta la miel?

A lampshade is made in the form of the lateral surface of the frustum of a right circular cone. The height of the frustum is $3\sqrt{3}$ inches, its top diameter is $6$ inches, and its bottom diameter is $12$ inches. A bug is at the bottom of the lampshade and there is a glob of honey on the top edge of the lampshade at the spot farthest from the bug. The bug wants to crawl to the honey, but it must stay on the surface of the lampshade. What is the length in inches of its shortest path to the honey?

$6+3\pi$

$6+6\pi$

$6\sqrt{3}$

$6\sqrt{5}$

$6\sqrt{3}+\pi$

Solución:

Extiende el tronco a un cono completo. Como los radios son $3$ y $6$ con banda inclinada $6,$ el vértice está a distancia inclinada $6$ del borde superior y $12$ del borde inferior. La circunferencia inferior $12\pi$ se desenrolla en un sector de radio $12$ y ángulo $\dfrac{12\pi}{12}=\pi.$ Coloca al insecto en $(12,0)$ en este patrón; la miel, a mitad de camino alrededor de la base, está a radio $6$ y ángulo $\tfrac{\pi}{2}.$ La cuerda recta entre ellos pasa dentro del radio $6$ (fuera de la superficie), así que la geodésica va tangente al círculo de radio $6:$ la tangente tiene longitud $\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt3$ y toca en el ángulo $\tfrac{\pi}{3},$ tras lo cual la trayectoria sigue el arco de ángulo $\tfrac{\pi}{6}$ sobre el radio $6,$ de longitud $6\cdot\tfrac{\pi}{6}=\pi.$ La trayectoria más corta es $6\sqrt3+\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Extend the frustum to a full cone. Since the radii are $3$ and $6$ with slant band $6,$ the apex is slant distance $6$ from the top rim and $12$ from the bottom rim. The bottom circumference $12\pi$ unrolls to a sector of radius $12$ and angle $\dfrac{12\pi}{12}=\pi.$ Place the bug at $(12,0)$ in this pattern; the honey, halfway around the base, is at radius $6$ and angle $\tfrac{\pi}{2}.$ The straight chord between them passes within radius $6$ (off the surface), so the geodesic goes tangent to the circle of radius $6:$ the tangent has length $\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt3$ and touches at angle $\tfrac{\pi}{3},$ after which the path follows the arc of angle $\tfrac{\pi}{6}$ on radius $6,$ of length $6\cdot\tfrac{\pi}{6}=\pi.$ The shortest path is $6\sqrt3+\pi.$

Thus, the correct answer is E.

2023 AMC 12B Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años