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2012 AMC 12A Problema 21

Intenta el Problema 21 del 2012 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2012 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

21.

Sean a,a, b,b, y cc enteros positivos con a≥b≥ca \ge b \ge c tales que a2−b2−c2+ab=2011a^2 - b^2 - c^2 + ab = 2011 y a2+3b2+3c2−3ab−2ac−2bc=−1997. \begin{aligned} &a^2 + 3b^2 + 3c^2 \\ &\quad {}- 3ab - 2ac - 2bc = -1997. \end{aligned}
¿Cuánto vale aa?
Let a,a, b,b, and cc be positive integers with a≥b≥ca \ge b \ge c such that a2−b2−c2+ab=2011a^2 - b^2 - c^2 + ab = 2011 and a2+3b2+3c2−3ab−2ac−2bc=−1997. \begin{aligned} &a^2 + 3b^2 + 3c^2 \\ &\quad {}- 3ab - 2ac - 2bc = -1997. \end{aligned}
What is a?a?
249249
250250
251251
252252
253253
Respuesta: E
Conceptos:manipulación algebraicasistema de ecuacionesEcuación diofántica
Nivel de dificultad: 2090
Pista pequeña:
Suma las dos ecuaciones para obtener una expresión simétrica limpia
Add the two equations to get a clean symmetric expression
Pista grande:
La suma se simplifica a (a−b)2(a-b)^2 +(b−c)2+ (b-c)^2 +(c−a)2=14,+ (c-a)^2 = 14, y 14=32+22+1214 = 3^2 + 2^2 + 1^2 de forma única
The sum simplifies to (a−b)2(a-b)^2 +(b−c)2+ (b-c)^2 +(c−a)2=14,+ (c-a)^2 = 14, and 14=32+22+1214 = 3^2 + 2^2 + 1^2 uniquely
Solución:
Sumar las dos ecuaciones da 2a2+2b2+2c22a^2 + 2b^2 + 2c^2 −2ab−2bc−2ca=14,- 2ab - 2bc - 2ca = 14, es decir, (a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=14. \begin{aligned} &(a-b)^2 + (b-c)^2 \\ &\quad {}+ (c-a)^2 = 14. \end{aligned}
La única manera de escribir 1414 como suma de tres cuadrados es 9+4+1.9 + 4 + 1. Como a≥b≥c,a \ge b \ge c, obtenemos a−c=3,a - c = 3, con (a−b,b−c)=(2,1)(a-b, b-c) = (2,1) o (1,2).(1,2).
Al sustituir (a,b,c)=(c+3,c+1,c)(a, b, c) = (c+3, c+1, c) en la primera ecuación se obtiene 3(2c+3)+2(c+1)=2011,3(2c+3) + 2(c+1) = 2011, así que c=250c = 250 y (a,b,c)=(253,251,250).(a, b, c) = (253, 251, 250). El otro caso no tiene solución entera.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Adding the two equations gives 2a2+2b2+2c22a^2 + 2b^2 + 2c^2 −2ab−2bc−2ca=14,- 2ab - 2bc - 2ca = 14, that is, (a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=14. \begin{aligned} &(a-b)^2 + (b-c)^2 \\ &\quad {}+ (c-a)^2 = 14. \end{aligned}
The only way to write 1414 as a sum of three squares is 9+4+1.9 + 4 + 1. Since a≥b≥c,a \ge b \ge c, we get a−c=3,a - c = 3, with either (a−b,b−c)=(2,1)(a-b, b-c) = (2,1) or (1,2).(1,2).
Substituting (a,b,c)=(c+3,c+1,c)(a, b, c) = (c+3, c+1, c) into the first equation gives 3(2c+3)+2(c+1)=2011,3(2c+3) + 2(c+1) = 2011, so c=250c = 250 and (a,b,c)=(253,251,250).(a, b, c) = (253, 251, 250). The other case has no integer solution.
Thus, the correct answer is E.
Problema 20#20
Examen completo
Problema 22#22

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