Question

Considera el polinomio $\begin{aligned} P(x) &= \prod_{k=0}^{10}\left(x^{2^k} + 2^k\right) \\ &= (x+1)(x^2+2)(x^4+4) \\ &\quad \cdots (x^{1024}+1024). \end{aligned}$

El coeficiente de $x^{2012}$ es igual a $2^a.$ ¿Cuánto vale $a$ ?

Consider the polynomial $\begin{aligned} P(x) &= \prod_{k=0}^{10}\left(x^{2^k} + 2^k\right) \\ &= (x+1)(x^2+2)(x^4+4) \\ &\quad \cdots (x^{1024}+1024). \end{aligned}$

The coefficient of $x^{2012}$ is equal to $2^a.$ What is $a?$

$5$

$6$

$7$

$10$

$24$

Solución:

Al expandir el producto, un término de grado $2012$ proviene de elegir $x^{2^k}$ de algunos factores de modo que los exponentes sumen $2012.$ Como las potencias de dos son distintas, esto corresponde a la representación binaria $2012 = 11111011100_2.$

Esa representación es única, así que exactamente un término da $x^{2012},$ y su coeficiente es el producto de las constantes $2^k$ de los factores restantes: los que tienen $k \in \{0, 1, 5\}.$

El coeficiente es $2^0 \cdot 2^1 \cdot 2^5 = 2^6,$ así que $a = 6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Expanding the product, a term of degree $2012$ comes from choosing $x^{2^k}$ from some factors so that the exponents sum to $2012.$ Since powers of two are distinct, this corresponds to the binary representation $2012 = 11111011100_2.$

That representation is unique, so exactly one term gives $x^{2012},$ and its coefficient is the product of the constants $2^k$ from the remaining factors: those with $k \in \{0, 1, 5\}.$

The coefficient is $2^0 \cdot 2^1 \cdot 2^5 = 2^6,$ so $a = 6.$

Thus, the correct answer is B.

2012 AMC 12A Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años