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2021 AMC 12B Spring Problema 20

Intenta el Problema 20 del 2021 AMC 12B Spring a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2021 AMC 12B Spring, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

20.

Sean Q(z)Q(z) y R(z)R(z) los únicos polinomios tales que z2021+1=(z2+z+1)Q(z)+R(z) \begin{aligned} &z^{2021}+1 \\ &\quad = (z^2+z+1)Q(z)+R(z) \end{aligned} y el grado de RR es menor que 2.2. ¿Cuál es R(z)R(z)?

Let Q(z)Q(z) and R(z)R(z) be the unique polynomials such that z2021+1=(z2+z+1)Q(z)+R(z) \begin{aligned} &z^{2021}+1 \\ &\quad = (z^2+z+1)Q(z)+R(z) \end{aligned} and the degree of RR is less than 2.2. What is R(z)?R(z)?

−z-z

−1-1

20212021

z+1z+1

2z+12z+1

Respuesta: A
Conceptos:polinomioraíces de la unidadaritmética modular
Nivel de dificultad: 1990
Pista pequeña:

Módulo z2+z+1z^2+z+1 tenemos z3≡1,z^3\equiv 1, ya que z3−1=(z−1)(z2+z+1)z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)

Modulo z2+z+1z^2+z+1 we have z3≡1,z^3\equiv 1, since z3−1=(z−1)(z2+z+1)z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)

Pista grande:

Reduce el exponente 20212021 módulo 3,3, y luego reduce z2z^2 usando z2≡−z−1z^2\equiv -z-1

Reduce the exponent 20212021 modulo 3,3, then reduce z2z^2 using z2≡−z−1z^2\equiv -z-1

Solución:

Como z3≡1(modz2+z+1)z^3\equiv 1\pmod{z^2+z+1} y 2021=3⋅673+2,2021=3\cdot 673+2, tenemos z2021≡z2.z^{2021}\equiv z^2.

Así que z2021+1≡z2+1.z^{2021}+1\equiv z^2+1. Reduciendo aún más con z2≡−z−1,z^2\equiv -z-1, esto es −z−1+1=−z.-z-1+1=-z.

Por lo tanto R(z)=−z.R(z)=-z.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since z3≡1(modz2+z+1)z^3\equiv 1\pmod{z^2+z+1} and 2021=3⋅673+2,2021=3\cdot 673+2, we have z2021≡z2.z^{2021}\equiv z^2.

So z2021+1≡z2+1.z^{2021}+1\equiv z^2+1. Reducing further with z2≡−z−1,z^2\equiv -z-1, this is −z−1+1=−z.-z-1+1=-z.

Therefore R(z)=−z.R(z)=-z.

Thus, the correct answer is A.

Problema 19#19
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