Question

Michael camina a una velocidad de $5$ pies por segundo en un camino recto y largo. Hay botes de basura cada $200$ pies a lo largo del camino. Un camión de basura viaja a $10$ pies por segundo en la misma dirección que Michael y se detiene $30$ segundos en cada bote. Cuando Michael pasa un bote, nota que el camión adelante acaba de salir del siguiente bote. ¿Cuántas veces se encontrarán Michael y el camión?

Michael walks at the rate of $5$ feet per second on a long straight path. Trash pails are located every $200$ feet along the path. A garbage truck travels at $10$ feet per second in the same direction as Michael and stops for $30$ seconds at each pail. As Michael passes a pail, he notices the truck ahead of him just leaving the next pail. How many times will Michael and the truck meet?

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Solución:

Numera los botes de modo que Michael esté en el bote $0$ y el camión en el bote $1$ en el tiempo $0.$ Michael llega al bote $n$ en $40n$ segundos. El camión pasa $20$ segundos entre botes y $30$ detenido, así que sale del bote $n$ en $50(n - 1)$ segundos y (para $n \ge 2$ ) llega en $50(n - 1) - 30.$

Michael está en el bote $n$ mientras el camión también está ahí exactamente cuando $50(n-1) - 30 \le 40n$ $\le 50(n-1),$ lo que se simplifica a $5 \le n \le 8.$ Así que se encuentran en el bote $5$ (en $t = 200,$ cuando el camión parte), el bote $6$ ( $t = 240$ ), el bote $7$ ( $t = 280$ ), y el bote $8$ ( $t = 320,$ cuando el camión llega).

Entre los botes $6$ y $7$ el camión (que se mueve a $10$ pies/s) se adelanta y luego es alcanzado por Michael una vez más, añadiendo un cruce. En total, se encuentran $5$ veces.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Number the pails so Michael is at pail $0$ and the truck at pail $1$ at time $0.$ Michael reaches pail $n$ at $40n$ seconds. The truck spends $20$ seconds between pails and $30$ stopped, so it leaves pail $n$ at $50(n - 1)$ seconds and (for $n \ge 2$ ) arrives at $50(n - 1) - 30.$

Michael is at pail $n$ while the truck is there exactly when $50(n-1) - 30 \le 40n$ $\le 50(n-1),$ which simplifies to $5 \le n \le 8.$ So they meet at pail $5$ (at $t = 200,$ as the truck departs), pail $6$ ( $t = 240$ ), pail $7$ ( $t = 280$ ), and pail $8$ ( $t = 320,$ as the truck arrives).

Between pails $6$ and $7$ the truck (moving at $10$ ft/s) pulls ahead of and is then overtaken by Michael once more, adding one crossing. In all, they meet $5$ times.

Thus, the correct answer is B.

2008 AMC 12B Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años