Question

Se eligen números reales $x$ y $y$ de manera independiente y uniforme al azar en el intervalo $(0, 1).$ ¿Cuál es la probabilidad de que $\lfloor \log_2 x \rfloor = \lfloor \log_2 y \rfloor,$ donde $\lfloor r \rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que el número real $r$ ?

Real numbers $x$ and $y$ are chosen independently and uniformly at random from the interval $(0, 1).$ What is the probability that $\lfloor \log_2 x \rfloor = \lfloor \log_2 y \rfloor,$ where $\lfloor r \rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to the real number $r?$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

Solución:

Para cada entero positivo $n,$ $\lfloor \log_2 x \rfloor = -n$ exactamente cuando $\dfrac{1}{2^n} \le x \lt \dfrac{1}{2^{n-1}},$ un intervalo de longitud $\dfrac{1}{2^n}.$ El evento de que ambas partes enteras sean iguales a $-n$ es un cuadrado de área $\dfrac{1}{4^n}.$ Sumando sobre todos los $n,$ la probabilidad es $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^n} = \frac{1/4}{1 - 1/4} = \frac{1}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For each positive integer $n,$ $\lfloor \log_2 x \rfloor = -n$ exactly when $\dfrac{1}{2^n} \le x \lt \dfrac{1}{2^{n-1}},$ an interval of length $\dfrac{1}{2^n}.$ The event that both floors equal $-n$ is a square of area $\dfrac{1}{4^n}.$ Summing over all $n,$ the probability is $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^n} = \frac{1/4}{1 - 1/4} = \frac{1}{3}.$

Thus, the correct answer is D.

2017 AMC 12B Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años