Question

Sea $N = 123456789101112\ldots4344$ el número de $79$ cifras que se forma escribiendo los enteros de $1$ a $44$ en orden, uno tras otro. ¿Cuál es el residuo cuando $N$ se divide entre $45$ ?

Let $N = 123456789101112\ldots4344$ be the $79$ -digit number that is formed by writing the integers from $1$ to $44$ in order, one after the other. What is the remainder when $N$ is divided by $45?$

$1$

$4$

$9$

$18$

$44$

Solución:

La última cifra de $N$ es $4,$ por lo que $N \equiv 4 \pmod 5.$ Para el módulo $9,$ suma las cifras: los números del $1$ al $9$ aportan sus cifras, y las cifras de las decenas de $10$ a $44$ junto con las cifras de las unidades suman en total $270,$ que es un múltiplo de $9,$ por lo que $N \equiv 0 \pmod 9.$ El número $N - 9$ es entonces un múltiplo de $9,$ y su última cifra es $5,$ así que es un múltiplo de $5;$ por lo tanto $N - 9$ es un múltiplo de $45.$ En consecuencia $N \equiv 9 \pmod{45}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The last digit of $N$ is $4,$ so $N \equiv 4 \pmod 5.$ For mod $9,$ sum the digits: the numbers $1$ – $9$ contribute their digits, the tens digits of $10$ – $44$ and the units digits together sum to $270,$ which is a multiple of $9,$ so $N \equiv 0 \pmod 9.$ The number $N - 9$ is then a multiple of $9,$ and its last digit is $5,$ so it is a multiple of $5;$ hence $N - 9$ is a multiple of $45.$ Therefore $N \equiv 9 \pmod{45}.$

Thus, the correct answer is C.

2017 AMC 12B Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años