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2017 AMC 12B Problema 19

Intenta el Problema 19 del 2017 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2017 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

19.

Sea N=123456789101112…4344N = 123456789101112\ldots4344 el número de 7979 cifras que se forma escribiendo los enteros de 11 a 4444 en orden, uno tras otro. ¿Cuál es el residuo cuando NN se divide entre 4545?

Let N=123456789101112…4344N = 123456789101112\ldots4344 be the 7979-digit number that is formed by writing the integers from 11 to 4444 in order, one after the other. What is the remainder when NN is divided by 45?45?

11

44

99

1818

4444

Respuesta: C
Conceptos:aritmética modulardivisibilidaddígitos
Nivel de dificultad: 1910
Pista pequeña:

Como 45=9⋅5,45 = 9 \cdot 5, halla N mod 5N \bmod 5 (la última cifra) y N mod 9N \bmod 9 (la suma de las cifras)

Since 45=9⋅5,45 = 9 \cdot 5, find N mod 5N \bmod 5 (the last digit) and N mod 9N \bmod 9 (the digit sum)

Pista grande:

La suma de las cifras es un múltiplo de 9,9, así que N≡0(mod9);N \equiv 0 \pmod 9; combínalo con el residuo módulo 55

The digit sum is a multiple of 9,9, so N≡0(mod9);N \equiv 0 \pmod 9; combine with the residue mod 55

Solución:

La última cifra de NN es 4,4, por lo que N≡4(mod5).N \equiv 4 \pmod 5. Para el módulo 9,9, suma las cifras: los números del 11 al 99 aportan sus cifras, y las cifras de las decenas de 1010 a 4444 junto con las cifras de las unidades suman en total 270,270, que es un múltiplo de 9,9, por lo que N≡0(mod9).N \equiv 0 \pmod 9. El número N−9N - 9 es entonces un múltiplo de 9,9, y su última cifra es 5,5, así que es un múltiplo de 5;5; por lo tanto N−9N - 9 es un múltiplo de 45.45. En consecuencia N≡9(mod45).N \equiv 9 \pmod{45}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The last digit of NN is 4,4, so N≡4(mod5).N \equiv 4 \pmod 5. For mod 9,9, sum the digits: the numbers 11–99 contribute their digits, the tens digits of 1010–4444 and the units digits together sum to 270,270, which is a multiple of 9,9, so N≡0(mod9).N \equiv 0 \pmod 9. The number N−9N - 9 is then a multiple of 9,9, and its last digit is 5,5, so it is a multiple of 5;5; hence N−9N - 9 is a multiple of 45.45. Therefore N≡9(mod45).N \equiv 9 \pmod{45}.

Thus, the correct answer is C.

Problema 18#18
Examen completo
Problema 20#20

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