Question

En la figura adjunta, $ABCD$ es un cuadrado y $CMN$ es un triángulo equilátero. Si el área de $ABCD$ es una pulgada cuadrada, entonces el área de $CMN$ , en pulgadas cuadradas, es

In the adjoining figure $ABCD$ is a square and $CMN$ is an equilateral triangle. If the area of $ABCD$ is one square inch, then the area of $CMN$ in square inches is

$2\sqrt3-3$

$1-\frac{\sqrt3}{3}$

$\frac{\sqrt3}{4}$

$\frac{\sqrt2}{3}$

$4-2\sqrt3$

Respuesta: A

Conceptos:triángulo equilátero Teorema de Pitágoras área del triángulo

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

El cuadrado tiene lado $1;$ establece $DM=NB=x$ comparando los lados iguales $CM$ y $CN$

The square has side $1;$ set $DM=NB=x$ by comparing the equal sides $CM$ and $CN$

Pista grande:

Iguala $CM^2=1+x^2$ con $MN^2=2(1-x)^2$

Equate $CM^2=1+x^2$ with $MN^2=2(1-x)^2$

Solución:

El cuadrado tiene lado $1.$ Como $CM=CN,$ la simetría de los cuadrados de sus longitudes da $DM=NB=x.$ Además, $\begin{aligned} CM^2&=1+x^2,\\ MN^2&=2(1-x)^2. \end{aligned}$ Al igualarlas, pues $CMN$ es equilátero, se obtiene $x^2-4x+1=0.$ La raíz en $(0,1)$ es $x=2-\sqrt3.$

El cuadrado del lado del triángulo es $1+x^2,$ por lo que su área es $\begin{aligned} A_\triangle&=\frac{\sqrt3}{4}(1+x^2)\\ &=\frac{\sqrt3}{4} \bigl(1+(2-\sqrt3)^2\bigr)\\ &=2\sqrt3-3. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The square has side $1.$ Since $CM=CN,$ symmetry of their squared lengths gives $DM=NB=x.$ Also, $\begin{aligned} CM^2&=1+x^2,\\ MN^2&=2(1-x)^2. \end{aligned}$ Equating these because $CMN$ is equilateral gives $x^2-4x+1=0.$ The root in $(0,1)$ is $x=2-\sqrt3.$

The triangle’s side has square $1+x^2,$ so its area is $\begin{aligned} A_\triangle&=\frac{\sqrt3}{4}(1+x^2)\\ &=\frac{\sqrt3}{4} \bigl(1+(2-\sqrt3)^2\bigr)\\ &=2\sqrt3-3. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.

1974 AMC 12 Problema 19

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 19 en otros años