Question

Un cono truncado tiene bases horizontales con radios $18$ y $2.$ Una esfera es tangente a la superficie superior, inferior y lateral del cono truncado. ¿Cuál es el radio de la esfera?

A truncated cone has horizontal bases with radii $18$ and $2.$ A sphere is tangent to the top, bottom, and lateral surface of the truncated cone. What is the radius of the sphere?

$6$

$4\sqrt{5}$

$9$

$10$

$6\sqrt{3}$

Solución:

La sección axial es un trapecio $ABCD$ con lados paralelos $2$ y $18$ y un círculo inscrito (un círculo máximo de la esfera). Por igualdad de longitudes de tangentes desde $B$ y $C,$ el lado oblicuo $BC = 18 + 2 = 20.$ Al trazar una perpendicular desde $C$ hasta la base inferior se obtiene un triángulo rectángulo con cateto horizontal $18 - 2 = 16,$ así que la altura es $\sqrt{20^2 - 16^2} = 12.$ El radio de la esfera es la mitad de la altura, $6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The axial cross-section is a trapezoid $ABCD$ with parallel sides $2$ and $18$ and an inscribed circle (a great circle of the sphere). By equal tangent lengths from $B$ and $C,$ the slant side $BC = 18 + 2 = 20.$ Dropping a perpendicular from $C$ to the bottom base gives a right triangle with horizontal leg $18 - 2 = 16,$ so the height is $\sqrt{20^2 - 16^2} = 12.$ The sphere's radius is half the height, $6.$

Thus, the correct answer is A.

2004 AMC 12B Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años