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2014 AMC 12B Problema 19

Intenta el Problema 19 del 2014 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2014 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

19.

Una esfera está inscrita en un cono circular recto truncado, como se muestra. El volumen del cono truncado es el doble que el de la esfera. ¿Cuál es la razón entre el radio de la base inferior del cono truncado y el radio de la base superior del cono truncado?

A sphere is inscribed in a truncated right circular cone as shown. The volume of the truncated cone is twice that of the sphere. What is the ratio of the radius of the bottom base of the truncated cone to the radius of the top base of the truncated cone?

32\dfrac{3}{2}

1+52\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}

3\sqrt{3}

22

3+52\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}

Respuesta: E
Conceptos:conoesferavolumen
Nivel de dificultad: 2220
Pista pequeña:

Toma una sección axial, normaliza el radio superior a 1,1, y llama rr y aa a los radios de la base inferior y de la esfera.

Take an axial cross-section, normalize the top radius to 1,1, and call the bottom and sphere radii rr and aa

Pista grande:

Usa la distancia del centro de la esfera a un lado inclinado para relacionar rr y a,a, y luego compara los volúmenes del tronco y de la esfera

Use the distance from the sphere center to a slanted side to relate rr and a,a, then compare the frustum and sphere volumes

Solución:

Sea el radio superior 1,1, el radio inferior r,r, y el radio de la esfera a.a. La esfera toca ambas bases, así que la altura del tronco es 2a.2a. En una sección axial, coloca el centro de la esfera en (0,a)(0,a); el lado inclinado derecho que pasa por (r,0)(r,0) y (1,2a)(1,2a) tiene ecuación 2ax+(r−1)y−2ar=0.2ax+(r-1)y-2ar=0. Su distancia a (0,a)(0,a) es a,a, así que (r+1)2=4a2+(r−1)2,(r+1)^2=4a^2+(r-1)^2, lo que da r=a2.r=a^2.

El volumen del tronco es 13π(r2+r+1)(2a).\tfrac13 \pi (r^2 + r + 1)(2a). Igualarlo al doble del volumen de la esfera 43πa3\tfrac43 \pi a^3 y usar r=a2r = a^2 da a4−3a2+1=0, a^4 - 3a^2 + 1 = 0, es decir r2−3r+1=0.r^2 - 3r + 1 = 0.

La raíz positiva es r=3+52.r = \dfrac{3+\sqrt5}{2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the top radius be 1,1, the bottom radius r,r, and the sphere radius a.a. The sphere touches both bases, so the frustum height is 2a.2a. In an axial cross-section put the sphere center at (0,a)(0,a); the right slanted side through (r,0)(r,0) and (1,2a)(1,2a) has equation 2ax+(r−1)y−2ar=0.2ax+(r-1)y-2ar=0. Its distance from (0,a)(0,a) is a,a, so (r+1)2=4a2+(r−1)2,(r+1)^2=4a^2+(r-1)^2, giving r=a2.r=a^2.

The frustum volume is 13π(r2+r+1)(2a).\tfrac13 \pi (r^2 + r + 1)(2a). Setting it equal to twice the sphere volume 43πa3\tfrac43 \pi a^3 and using r=a2r = a^2 yields a4−3a2+1=0, a^4 - 3a^2 + 1 = 0, that is r2−3r+1=0.r^2 - 3r + 1 = 0.

The positive root is r=3+52.r = \dfrac{3+\sqrt5}{2}.

Thus, the correct answer is E.

Problema 18#18
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