Question

Una esfera está inscrita en un cono circular recto truncado, como se muestra. El volumen del cono truncado es el doble que el de la esfera. ¿Cuál es la razón entre el radio de la base inferior del cono truncado y el radio de la base superior del cono truncado?

A sphere is inscribed in a truncated right circular cone as shown. The volume of the truncated cone is twice that of the sphere. What is the ratio of the radius of the bottom base of the truncated cone to the radius of the top base of the truncated cone?

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

$\sqrt{3}$

$2$

$\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$

Solución:

Sea el radio superior $1,$ el radio inferior $r,$ y el radio de la esfera $a.$ La esfera toca ambas bases, así que la altura del cono es $2a,$ y aplicar el Teorema de Pitágoras al perfil lateral da $r = a^2.$

El volumen del tronco es $\tfrac13 \pi (r^2 + r + 1)(2a).$ Igualarlo al doble del volumen de la esfera $\tfrac43 \pi a^3$ y usar $r = a^2$ da $a^4 - 3a^2 + 1 = 0,$ es decir $r^2 - 3r + 1 = 0.$

La raíz positiva es $r = \dfrac{3+\sqrt5}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the top radius be $1,$ the bottom radius $r,$ and the sphere radius $a.$ The sphere touches both bases, so the cone's height is $2a,$ and applying the Pythagorean Theorem to the side profile gives $r = a^2.$

The frustum volume is $\tfrac13 \pi (r^2 + r + 1)(2a).$ Setting it equal to twice the sphere volume $\tfrac43 \pi a^3$ and using $r = a^2$ yields $a^4 - 3a^2 + 1 = 0,$ that is $r^2 - 3r + 1 = 0.$

The positive root is $r = \dfrac{3+\sqrt5}{2}.$

Thus, the correct answer is E.

2014 AMC 12B Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años