Question

Considera todos los triángulos $ABC$ que satisfacen las siguientes condiciones: $AB = AC,$ $D$ es un punto sobre $\overline{AC}$ para el cual $\overline{BD} \perp \overline{AC},$ $AD$ y $CD$ son enteros, y $BD^2 = 57.$ Entre todos esos triángulos, el menor valor posible de $AC$ es

Consider all triangles $ABC$ satisfying the following conditions: $AB = AC,$ $D$ is a point on $\overline{AC}$ for which $\overline{BD} \perp \overline{AC},$ $AD$ and $CD$ are integers, and $BD^2 = 57.$ Among all such triangles, the smallest possible value of $AC$ is

$9$

$10$

$11$

$12$

$13$

Solución:

Sea $AD = n$ y $CD = m.$ Como $\triangle ADB$ es rectángulo en $D,$ $AB^2 = n^2 + 57.$ Además $AB = AC = m + n,$ así que $(m + n)^2 = n^2 + 57,$ lo que se simplifica a $m(m + 2n) = 57.$

Las soluciones enteras positivas son $m = 1, n = 28$ (que dan $AC = 29$ ) y $m = 3, n = 8$ (que dan $AC = 11$ ). El menor valor posible de $AC$ es $11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $AD = n$ and $CD = m.$ Since $\triangle ADB$ is right-angled at $D,$ $AB^2 = n^2 + 57.$ Also $AB = AC = m + n,$ so $(m + n)^2 = n^2 + 57,$ which simplifies to $m(m + 2n) = 57.$

The positive integer solutions are $m = 1, n = 28$ (giving $AC = 29$ ) and $m = 3, n = 8$ (giving $AC = 11$ ). The smallest possible value of $AC$ is $11.$

Thus, the correct answer is C.

1999 AMC 12 Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años