Question

Mary eligió un número par de $4$ dígitos $n.$ Escribió todos los divisores de $n$ en orden creciente de izquierda a derecha: $1, 2, \ldots, \tfrac{n}{2}, n.$ En cierto momento Mary escribió $323$ como divisor de $n.$ ¿Cuál es el menor valor posible del siguiente divisor escrito a la derecha de $323$ ?

Mary chose an even $4$ -digit number $n.$ She wrote down all the divisors of $n$ in increasing order from left to right: $1, 2, \ldots, \tfrac{n}{2}, n.$ At some moment Mary wrote $323$ as a divisor of $n.$ What is the smallest possible value of the next divisor written to the right of $323?$

$324$

$330$

$340$

$361$

$646$

Solución:

Sea $d$ el siguiente divisor después de $323.$ Si $\gcd(d,323)=1,$ entonces $323d$ divide a $n,$ obligando a que $n\ge323d\gt323^2\gt9999,$ imposible para un número de $4$ dígitos. Así que $d$ comparte un factor primo con $323=17\cdot19.$

Entonces $d-323\ge\gcd(d,323)\ge17,$ así que $d\ge340.$ En efecto, $d=340=17\cdot20$ ocurre para $n=17\cdot19\cdot20=6460,$ que es par y de $4$ dígitos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $d$ be the next divisor after $323.$ If $\gcd(d,323)=1,$ then $323d$ divides $n,$ forcing $n\ge323d\gt323^2\gt9999,$ impossible for a $4$ -digit number. So $d$ shares a prime factor with $323=17\cdot19.$

Then $d-323\ge\gcd(d,323)\ge17,$ so $d\ge340.$ Indeed $d=340=17\cdot20$ occurs for $n=17\cdot19\cdot20=6460,$ which is even and $4$ -digit.

Thus, the correct answer is C.

2018 AMC 12B Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años