Question

Los triángulos $ABC$ y $ADE$ tienen áreas $2007$ y $7002,$ respectivamente, con $B=(0,0),$ $C=(223,0),$ $D=(680,380),$ y $E=(689,389).$ ¿Cuál es la suma de todas las posibles coordenadas $x$ de $A$ ?

Triangles $ABC$ and $ADE$ have areas $2007$ and $7002,$ respectively, with $B=(0,0),$ $C=(223,0),$ $D=(680,380),$ and $E=(689,389).$ What is the sum of all possible $x$ -coordinates of $A?$

$282$

$300$

$600$

$900$

$1200$

Solución:

La altura $h$ desde $A$ en el $\triangle ABC$ satisface $2007=\tfrac12\cdot 223\cdot h,$ así que $h=18.$ Por lo tanto $A$ está sobre $y=18$ o $y=-18.$

La recta $DE$ tiene ecuación $x-y-300=0.$ La condición sobre el $\triangle ADE$ coloca de forma análoga a $A$ sobre una de dos rectas paralelas a $DE.$

Las cuatro posibles posiciones de $A$ son los vértices de un paralelogramo cuyo centro es la intersección de $y=0$ con la recta $DE,$ a saber $(300,0).$ Por lo tanto, la suma de las cuatro coordenadas $x$ es $4\cdot 300=1200.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The altitude $h$ from $A$ in $\triangle ABC$ satisfies $2007=\tfrac12\cdot 223\cdot h,$ so $h=18.$ Thus $A$ lies on $y=18$ or $y=-18.$

Line $DE$ has equation $x-y-300=0.$ The condition on $\triangle ADE$ similarly places $A$ on one of two lines parallel to $DE.$

The four possible positions of $A$ are the vertices of a parallelogram whose center is the intersection of $y=0$ with line $DE,$ namely $(300,0).$ Hence the sum of the four $x$ -coordinates is $4\cdot 300=1200.$

Thus, the correct answer is E.

2007 AMC 12A Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años