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2007 AMC 12A Problema 19

Intenta el Problema 19 del 2007 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2007 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

19.

Los triángulos ABCABC y ADEADE tienen áreas 20072007 y 7002,7002, respectivamente, con B=(0,0),B=(0,0), C=(223,0),C=(223,0), D=(680,380),D=(680,380), y E=(689,389).E=(689,389). ¿Cuál es la suma de todas las posibles coordenadas xx de AA?

Triangles ABCABC and ADEADE have areas 20072007 and 7002,7002, respectively, with B=(0,0),B=(0,0), C=(223,0),C=(223,0), D=(680,380),D=(680,380), and E=(689,389).E=(689,389). What is the sum of all possible xx-coordinates of A?A?

282282

300300

600600

900900

12001200

Respuesta: E
Conceptos:geometría analíticaárea del triángulo
Nivel de dificultad: 1840
Pista pequeña:

El área del △ABC\triangle ABC fija la altura desde AA hasta BC,BC, así que AA está sobre y=18y=18 o y=−18y=-18.

The area of △ABC\triangle ABC fixes the altitude from AA to BC,BC, so AA lies on y=18y=18 or y=−18y=-18

Pista grande:

Del mismo modo, AA está sobre una de dos rectas paralelas a DEDE; los cuatro puntos de intersección promedian el centro de un paralelogramo.

Likewise AA lies on one of two lines parallel to DEDE; the four intersection points average to the center of a parallelogram

Solución:

La altura hh desde AA en el △ABC\triangle ABC satisface 2007=12⋅223⋅h,2007=\tfrac12\cdot 223\cdot h, así que h=18.h=18. Por lo tanto AA está sobre y=18y=18 o y=−18.y=-18.

La recta DEDE tiene ecuación x−y−300=0.x-y-300=0. La condición sobre el △ADE\triangle ADE coloca de forma análoga a AA sobre una de dos rectas paralelas a DE.DE.

Las cuatro posibles posiciones de AA son los vértices de un paralelogramo cuyo centro es la intersección de y=0y=0 con la recta DE,DE, a saber (300,0).(300,0). Por lo tanto, la suma de las cuatro coordenadas xx es 4⋅300=1200.4\cdot 300=1200.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The altitude hh from AA in △ABC\triangle ABC satisfies 2007=12⋅223⋅h,2007=\tfrac12\cdot 223\cdot h, so h=18.h=18. Thus AA lies on y=18y=18 or y=−18.y=-18.

Line DEDE has equation x−y−300=0.x-y-300=0. The condition on △ADE\triangle ADE similarly places AA on one of two lines parallel to DE.DE.

The four possible positions of AA are the vertices of a parallelogram whose center is the intersection of y=0y=0 with line DE,DE, namely (300,0).(300,0). Hence the sum of the four xx-coordinates is 4⋅300=1200.4\cdot 300=1200.

Thus, the correct answer is E.

Problema 18#18
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