Question

Para algunos enteros positivos $p,$ existe un cuadrilátero $ABCD$ con longitudes de lado enteras positivas, perímetro $p,$ ángulos rectos en $B$ y $C,$ $AB = 2,$ y $CD = AD.$ ¿Cuántos valores diferentes de $p \lt 2015$ son posibles?

For some positive integers $p,$ there is a quadrilateral $ABCD$ with positive integer side lengths, perimeter $p,$ right angles at $B$ and $C,$ $AB = 2,$ and $CD = AD.$ How many different values of $p \lt 2015$ are possible?

$30$

$31$

$61$

$62$

$63$

Solución:

En todo cuadrilátero de este tipo $CD \ge AB.$ Sea $E$ el pie de la perpendicular desde $A$ hacia $\overline{CD};$ entonces $CE = 2$ y $AE = BC.$ Sea $x = AE$ y $y = DE,$ así que $AD = 2 + y.$

Por el teorema de Pitágoras $x^2 + y^2 = (2+y)^2,$ así que $x^2 = 4 + 4y$ y $x$ es par. Escribiendo $x = 2z$ se obtiene $y = z^2 - 1,$ y el perímetro es $x + 2y + 6 = 2z^2 + 2z + 4.$

Los valores crecientes $z = 1, 2, 3, \dots$ dan los cuadriláteros requeridos con perímetro creciente. Para $z = 31$ el perímetro es $1988,$ y para $z = 32$ es $2116.$ Por lo tanto hay $31$ valores posibles de $p \lt 2015.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

In every such quadrilateral $CD \ge AB.$ Let $E$ be the foot of the perpendicular from $A$ to $\overline{CD};$ then $CE = 2$ and $AE = BC.$ Let $x = AE$ and $y = DE,$ so $AD = 2 + y.$

By the Pythagorean Theorem $x^2 + y^2 = (2+y)^2,$ so $x^2 = 4 + 4y$ and $x$ is even. Writing $x = 2z$ gives $y = z^2 - 1,$ and the perimeter is $x + 2y + 6 = 2z^2 + 2z + 4.$

Increasing values $z = 1, 2, 3, \dots$ give the required quadrilaterals with increasing perimeter. For $z = 31$ the perimeter is $1988,$ and for $z = 32$ it is $2116.$ Therefore there are $31$ possible values of $p \lt 2015.$

Thus, the correct answer is B.

2015 AMC 12A Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años