Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

Español

2015 AMC 12A Problema 19

Intenta el Problema 19 del 2015 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2015 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

19.

Para algunos enteros positivos p,p, existe un cuadrilátero ABCDABCD con longitudes de lado enteras positivas, perímetro p,p, ángulos rectos en BB y C,C, AB=2,AB = 2, y CD=AD.CD = AD. ¿Cuántos valores diferentes de p<2015p \lt 2015 son posibles?

For some positive integers p,p, there is a quadrilateral ABCDABCD with positive integer side lengths, perimeter p,p, right angles at BB and C,C, AB=2,AB = 2, and CD=AD.CD = AD. How many different values of p<2015p \lt 2015 are possible?

3030

3131

6161

6262

6363

Respuesta: B
Conceptos:Teorema de Pitágorasconteo de enteros en un rango
Nivel de dificultad: 2010
Pista pequeña:

Traza una perpendicular desde AA hacia CD‾;\overline{CD}; con los ángulos rectos en B,C,B,C, eso crea un rectángulo

Drop a perpendicular from AA to CD‾;\overline{CD}; with right angles at B,C,B,C, that creates a rectangle

Pista grande:

Si AE=xAE = x y DE=yDE = y entonces x2+y2=(2+y)2,x^2 + y^2 = (2+y)^2, lo que obliga a que xx sea par

If AE=xAE = x and DE=yDE = y then x2+y2=(2+y)2,x^2 + y^2 = (2+y)^2, which forces xx to be even

Solución:

En todo cuadrilátero de este tipo CD≥AB.CD \ge AB. Sea EE el pie de la perpendicular desde AA hacia CD‾;\overline{CD}; entonces CE=2CE = 2 y AE=BC.AE = BC. Sea x=AEx = AE y y=DE,y = DE, así que AD=2+y.AD = 2 + y.

Por el teorema de Pitágoras x2+y2=(2+y)2,x^2 + y^2 = (2+y)^2, así que x2=4+4yx^2 = 4 + 4y y xx es par. Escribiendo x=2zx = 2z se obtiene y=z2−1,y = z^2 - 1, y el perímetro es x+2y+6=2z2+2z+4.x + 2y + 6 = 2z^2 + 2z + 4.

Los valores crecientes z=1,2,3,…z = 1, 2, 3, \dots dan los cuadriláteros requeridos con perímetro creciente. Para z=31z = 31 el perímetro es 1988,1988, y para z=32z = 32 es 2116.2116. Por lo tanto hay 3131 valores posibles de p<2015.p \lt 2015.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

In every such quadrilateral CD≥AB.CD \ge AB. Let EE be the foot of the perpendicular from AA to CD‾;\overline{CD}; then CE=2CE = 2 and AE=BC.AE = BC. Let x=AEx = AE and y=DE,y = DE, so AD=2+y.AD = 2 + y.

By the Pythagorean Theorem x2+y2=(2+y)2,x^2 + y^2 = (2+y)^2, so x2=4+4yx^2 = 4 + 4y and xx is even. Writing x=2zx = 2z gives y=z2−1,y = z^2 - 1, and the perimeter is x+2y+6=2z2+2z+4.x + 2y + 6 = 2z^2 + 2z + 4.

Increasing values z=1,2,3,…z = 1, 2, 3, \dots give the required quadrilaterals with increasing perimeter. For z=31z = 31 the perimeter is 1988,1988, and for z=32z = 32 it is 2116.2116. Therefore there are 3131 possible values of p<2015.p \lt 2015.

Thus, the correct answer is B.

Problema 18#18
Examen completo
Problema 20#20

El Problema 19 en otros años

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B