Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

Español

2015 AMC 12A Problema 18

Intenta el Problema 18 del 2015 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2015 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

18.

Los ceros de la función f(x)=x2−ax+2af(x) = x^2 - ax + 2a son enteros. ¿Cuál es la suma de los posibles valores de aa?

The zeros of the function f(x)=x2−ax+2af(x) = x^2 - ax + 2a are integers. What is the sum of the possible values of a?a?

77

88

1616

1717

1818

Respuesta: C
Conceptos:Fórmulas de VietaTruco de factorización favorito de Simon
Nivel de dificultad: 1990
Pista pequeña:

Si las raíces enteras son p,qp,q entonces p+q=ap+q = a y pq=2apq = 2a.

If the integer roots are p,qp,q then p+q=ap+q = a and pq=2apq = 2a

Pista grande:

Elimina aa para obtener pq=2(p+q),pq = 2(p+q), es decir (p−2)(q−2)=4(p-2)(q-2) = 4

Eliminate aa to get pq=2(p+q),pq = 2(p+q), i.e. (p−2)(q−2)=4(p-2)(q-2) = 4

Solución:

Sean los ceros enteros pp y q.q. Por las fórmulas de Vieta p+q=ap + q = a y pq=2a,pq = 2a, así que pq=2(p+q).pq = 2(p+q). Reordenando se obtiene (p−2)(q−2)=4.(p-2)(q-2) = 4.

Los pares de factores enteros de 44 son (1,4),(1,4), (2,2),(2,2), (4,1),(4,1), (−1,−4),(-1,-4), (−2,−2),(-2,-2), (−4,−1),(-4,-1), que dan pares (p,q)(p,q) cuyas sumas son a=9,8,−1,a = 9, 8, -1, y 0.0.

Los distintos valores posibles de aa son 9,8,0,−1,9, 8, 0, -1, cuya suma es 16.16.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the integer zeros be pp and q.q. By Vieta’s formulas p+q=ap + q = a and pq=2a,pq = 2a, so pq=2(p+q).pq = 2(p+q). Rearranging gives (p−2)(q−2)=4.(p-2)(q-2) = 4.

The integer factor pairs of 44 are (1,4),(1,4), (2,2),(2,2), (4,1),(4,1), (−1,−4),(-1,-4), (−2,−2),(-2,-2), (−4,−1),(-4,-1), which yield (p,q)(p,q) pairs summing to a=9,8,−1,a = 9, 8, -1, and 0.0.

The distinct possible values of aa are 9,8,0,−1,9, 8, 0, -1, whose sum is 16.16.

Thus, the correct answer is C.

Problema 17#17
Examen completo
Problema 19#19

El Problema 18 en otros años

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B