Question

Los ceros de la función $f(x) = x^2 - ax + 2a$ son enteros. ¿Cuál es la suma de los posibles valores de $a$ ?

The zeros of the function $f(x) = x^2 - ax + 2a$ are integers. What is the sum of the possible values of $a?$

$7$

$8$

$16$

$17$

$18$

Solución:

Sean los ceros enteros $p$ y $q.$ Por las fórmulas de Vieta $p + q = a$ y $pq = 2a,$ así que $pq = 2(p+q).$ Reordenando se obtiene $(p-2)(q-2) = 4.$

Los pares de factores enteros de $4$ son $(1,4),$ $(2,2),$ $(4,1),$ $(-1,-4),$ $(-2,-2),$ $(-4,-1),$ que dan pares $(p,q)$ cuyas sumas son $a = 9, 8, -1,$ y $0.$

Los distintos valores posibles de $a$ son $9, 8, 0, -1,$ cuya suma es $16.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the integer zeros be $p$ and $q.$ By Vieta's formulas $p + q = a$ and $pq = 2a,$ so $pq = 2(p+q).$ Rearranging gives $(p-2)(q-2) = 4.$

The integer factor pairs of $4$ are $(1,4),$ $(2,2),$ $(4,1),$ $(-1,-4),$ $(-2,-2),$ $(-4,-1),$ which yield $(p,q)$ pairs summing to $a = 9, 8, -1,$ and $0.$

The distinct possible values of $a$ are $9, 8, 0, -1,$ whose sum is $16.$

Thus, the correct answer is C.

2015 AMC 12A Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años