Question

Sobre una tarjeta rectangular con lados de longitud $1$ y $2+\sqrt3,$ se coloca una tarjeta idéntica de modo que dos de sus diagonales coincidan, como se muestra ( $AC,$ en este caso).

Two congruent rectangular cards sharing the diagonal AC, with the second card rotated.

Continúa el proceso, agregando una tercera tarjeta a la segunda, y así sucesivamente, alineando diagonales sucesivas tras rotar en sentido horario. En total, ¿cuántas tarjetas deben usarse hasta que un vértice de una nueva tarjeta caiga exactamente sobre el vértice etiquetado $B$ en la figura?

On top of a rectangular card with sides of length $1$ and $2+\sqrt3,$ an identical card is placed so that two of their diagonals line up, as shown ( $AC,$ in this case).

Two congruent rectangular cards sharing the diagonal AC, with the second card rotated.

Continue the process, adding a third card to the second, and so on, lining up successive diagonals after rotating clockwise. In total, how many cards must be used until a vertex of a new card lands exactly on the vertex labeled $B$ in the figure?

$6$

$8$

$10$

$12$

Ningún vértice nuevo caerá sobre $B.$

No new vertex will land on $B.$

Respuesta: A

Conceptos:transformación trigonometría

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

La diagonal forma un ángulo $\arctan\dfrac{1}{2+\sqrt3}=15^\circ$ con el lado largo, ya que $\dfrac{1}{2+\sqrt3}=2-\sqrt3$

The diagonal makes angle $\arctan\dfrac{1}{2+\sqrt3}=15^\circ$ with the long side, since $\dfrac{1}{2+\sqrt3}=2-\sqrt3$

Pista grande:

Las dos diagonales se cortan formando $30^\circ;$ sigue la diagonal libre a medida que se añaden cinco tarjetas nuevas

The two diagonals meet at $30^\circ;$ track the unused diagonal as five new cards are added

Solución:

Una diagonal forma un ángulo $\theta$ con un lado largo, donde $\tan\theta=\dfrac{1}{2+\sqrt3}$ $=2-\sqrt3=\tan15^\circ.$ Por tanto, el ángulo agudo entre las dos diagonales de una tarjeta es $2\theta=30^\circ.$

Cada tarjeta nueva comparte una diagonal con la tarjeta anterior, y su otra diagonal es la siguiente recta que se obtiene al girar $30^\circ$ en sentido horario. Todas estas diagonales iguales tienen el mismo punto medio y son diámetros de una misma circunferencia. La recta que contiene la otra diagonal de la tarjeta original, y que pasa por $B,$ está girada $30^\circ$ en sentido antihorario respecto de $AC.$ Como recta no orientada, equivale a estar girada $150^\circ$ en sentido horario respecto de $AC.$ Cinco adiciones hacen avanzar la diagonal libre $5\cdot30^\circ=150^\circ,$ así que la sexta tarjeta es la primera tarjeta nueva que tiene un vértice en $B.$

Así, la respuesta correcta es A.

A diagonal makes an angle $\theta$ with a long side, where $\tan\theta=\dfrac{1}{2+\sqrt3}$ $=2-\sqrt3=\tan15^\circ.$ Thus the acute angle between the two diagonals of a card is $2\theta=30^\circ.$

Each new card shares one diagonal with the previous card, and its other diagonal is the next line obtained by turning $30^\circ$ clockwise. All these equal diagonals have the same midpoint and are diameters of one common circle. The line through the original card’s other diagonal, which contains $B,$ is $30^\circ$ counterclockwise from $AC.$ As an unoriented line, this is the same as $150^\circ$ clockwise from $AC.$ Five additions advance the unused diagonal by $5\cdot30^\circ=150^\circ,$ so the sixth card is the first new card with a vertex at $B.$

Thus, the correct answer is A.

2024 AMC 12A Problema 18

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años