Question

Sobre una tarjeta rectangular con lados de longitud $1$ y $2+\sqrt3,$ se coloca una tarjeta idéntica de modo que dos de sus diagonales coincidan, como se muestra ( $AC,$ en este caso).

Two congruent rectangular cards sharing the diagonal AC, with the second card rotated.

Continúa el proceso, agregando una tercera tarjeta a la segunda, y así sucesivamente, alineando diagonales sucesivas tras rotar en sentido horario. En total, ¿cuántas tarjetas deben usarse hasta que un vértice de una nueva tarjeta caiga exactamente sobre el vértice etiquetado $B$ en la figura?

On top of a rectangular card with sides of length $1$ and $2+\sqrt3,$ an identical card is placed so that two of their diagonals line up, as shown ( $AC,$ in this case).

Two congruent rectangular cards sharing the diagonal AC, with the second card rotated.

Continue the process, adding a third card to the second, and so on, lining up successive diagonals after rotating clockwise. In total, how many cards must be used until a vertex of a new card lands exactly on the vertex labeled $B$ in the figure?

$6$

$8$

$10$

$12$

Ningún vértice nuevo caerá sobre $B.$

No new vertex will land on $B.$

Solución:

La diagonal de la tarjeta forma un ángulo $\theta$ con el lado largo donde $\tan\theta=\dfrac{1}{2+\sqrt3}$ $=2-\sqrt3=\tan15^\circ,$ así que $\theta=15^\circ.$ Todas las tarjetas comparten diagonales que son cuerdas iguales (diámetros) de una misma circunferencia, y cada tarjeta recién agregada es la anterior girada $15^\circ$ en sentido horario alrededor del centro común. Un vértice nuevo coincide por primera vez con $B$ cuando la rotación acumulada alcanza $90^\circ,$ es decir, tras $90^\circ/15^\circ=6$ tarjetas. Como $15^\circ$ divide exactamente a $90^\circ,$ sí hay un vértice que cae sobre $B.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The diagonal of the card makes an angle $\theta$ with the long side where $\tan\theta=\dfrac{1}{2+\sqrt3}$ $=2-\sqrt3=\tan15^\circ,$ so $\theta=15^\circ.$ All the cards share diagonals that are equal chords (diameters) of one common circle, and each newly added card is the previous one turned $15^\circ$ clockwise about the common center. A fresh vertex first coincides with $B$ once the accumulated rotation reaches $90^\circ,$ i.e. after $90^\circ/15^\circ=6$ cards. Since $15^\circ$ divides $90^\circ$ evenly, a vertex does land on $B.$ Thus, the correct answer is A.

2024 AMC 12A Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años