Question

Sean $a,$ $b$ y $c$ dígitos con $a\ne0.$ El entero de tres dígitos $\overline{abc}$ se encuentra a un tercio del camino desde el cuadrado de un entero positivo hasta el cuadrado del siguiente entero mayor. El entero $\overline{acb}$ se encuentra a dos tercios del camino entre los mismos dos cuadrados. ¿Cuánto vale $a+b+c$ ?

Let $a,$ $b,$ and $c$ be digits with $a\ne0.$ The three-digit integer $\overline{abc}$ lies one third of the way from the square of a positive integer to the square of the next larger integer. The integer $\overline{acb}$ lies two thirds of the way between the same two squares. What is $a+b+c?$

$10$

$13$

$16$

$18$

$21$

Solución:

Sea el cuadrado menor $N^2,$ de modo que el mayor es $(N+1)^2$ y la separación es $2N+1.$ Entonces $\overline{abc}=N^2+\dfrac{2N+1}{3},$ $\overline{acb}=N^2+\dfrac{2(2N+1)}{3}.$

Restando, $\overline{acb}-\overline{abc}=9(c-b)$ $=\dfrac{2N+1}{3},$ así que $27(c-b)=2N+1.$ Si $c-b=0$ o $2,$ entonces $N$ no es entero; si $c-b\ge3,$ entonces $N\ge40$ y los números no tienen tres dígitos.

Así que $c-b=1,$ lo que da $N=13.$ Los puntos a un tercio y a dos tercios del camino desde $13^2=169$ hasta $14^2=196$ son $178$ y $187,$ así que $a+b+c=1+7+8=16.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the smaller square be $N^2,$ so the larger is $(N+1)^2$ and the gap is $2N+1.$ Then $\overline{abc}=N^2+\dfrac{2N+1}{3},$ $\overline{acb}=N^2+\dfrac{2(2N+1)}{3}.$

Subtracting, $\overline{acb}-\overline{abc}=9(c-b)$ $=\dfrac{2N+1}{3},$ so $27(c-b)=2N+1.$ If $c-b=0$ or $2,$ then $N$ is not an integer; if $c-b\ge3,$ then $N\ge40$ and the numbers are not three digits.

So $c-b=1,$ giving $N=13.$ The points one third and two thirds of the way from $13^2=169$ to $14^2=196$ are $178$ and $187,$ so $a+b+c=1+7+8=16.$

Thus, the correct answer is C.

2007 AMC 12B Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años