Question

Sean $a,$ $b,$ y $c$ dígitos con $a\ne0.$ El entero de tres dígitos $\overline{abc}$ se encuentra a un tercio del camino desde el cuadrado de un entero positivo hasta el cuadrado del siguiente entero mayor. El entero $\overline{acb}$ se encuentra a dos tercios del camino entre los mismos dos cuadrados. ¿Cuánto vale $a+b+c$ ?

Let $a,$ $b,$ and $c$ be digits with $a\ne0.$ The three-digit integer $\overline{abc}$ lies one third of the way from the square of a positive integer to the square of the next larger integer. The integer $\overline{acb}$ lies two thirds of the way between the same two squares. What is $a+b+c?$

$10$

$13$

$16$

$18$

$21$

Respuesta: C

Conceptos:cuadrado perfecto valor posicional divisibilidad

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Sean los dos cuadrados $N^2$ y $(N+1)^2;$ su diferencia es $2N+1$ .

Let the two squares be $N^2$ and $(N+1)^2;$ their difference is $2N+1$

Pista grande:

Restar las dos posiciones da $\overline{acb}-\overline{abc}=9(c-b)=\tfrac{2N+1}{3}$ .

Subtracting the two positions gives $\overline{acb}-\overline{abc}=9(c-b)=\tfrac{2N+1}{3}$

Solución:

Sea el cuadrado menor $N^2,$ de modo que el mayor es $(N+1)^2$ y la separación es $2N+1.$ Entonces $\overline{abc}=N^2+\dfrac{2N+1}{3},$ $\overline{acb}=N^2+\dfrac{2(2N+1)}{3}.$

Al restar, $\overline{acb}-\overline{abc}=9(c-b)$ $=\dfrac{2N+1}{3},$ así que $27(c-b)=2N+1.$ Como $\overline{acb}$ está más adelante en el intervalo, $c-b$ es positivo; y como el lado derecho es impar, $c-b$ es impar. Si $c-b\ge3,$ entonces $N\ge40$ y $N^2$ no tiene tres cifras.

Así, $c-b=1,$ lo que da $N=13.$ Los puntos a un tercio y dos tercios desde $13^2=169$ hasta $14^2=196$ son $178$ y $187,$ por lo que $a+b+c=1+7+8=16.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the smaller square be $N^2,$ so the larger is $(N+1)^2$ and the gap is $2N+1.$ Then $\overline{abc}=N^2+\dfrac{2N+1}{3},$ $\overline{acb}=N^2+\dfrac{2(2N+1)}{3}.$

Subtracting, $\overline{acb}-\overline{abc}=9(c-b)$ $=\dfrac{2N+1}{3},$ so $27(c-b)=2N+1.$ Since $\overline{acb}$ is farther along the interval, $c-b$ is positive; and because the right side is odd, $c-b$ is odd. If $c-b\ge3,$ then $N\ge40$ and $N^2$ is not three digits.

So $c-b=1,$ giving $N=13.$ The points one third and two thirds of the way from $13^2=169$ to $14^2=196$ are $178$ and $187,$ so $a+b+c=1+7+8=16.$

Thus, the correct answer is C.

2007 AMC 12B Problema 18

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años