Question

¿Cuántas ternas ordenadas $(x, y, z)$ de enteros no negativos distintos y menores o iguales que $8$ satisfacen $xy \gt z,$ $zx \gt y,$ y $yz \gt x$ ?

How many ordered triples $(x, y, z)$ of distinct nonnegative integers less than or equal to $8$ satisfy $xy \gt z,$ $zx \gt y,$ and $yz \gt x?$

$36$

$84$

$186$

$336$

$486$

Respuesta: C

Conceptos:desigualdad permutaciones simetría

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Ninguno de $x, y, z$ puede ser $0,$ ya que entonces algún producto es igual a $0$ y no puede superar un valor no negativo

None of $x, y, z$ can be $0,$ since then some product equals $0$ and cannot exceed a nonnegative value

Pista grande:

Para $a \lt b \lt c,$ distintos, la única condición vinculante es $ab \gt c$ ; cuenta tales subconjuntos de $3$ elementos, luego multiplica por $6$

For distinct $a \lt b \lt c,$ the only binding condition is $ab \gt c$ ; count such $3$ -subsets, then multiply by $6$

Solución:

Si alguna variable es $0,$ por ejemplo $z = 0,$ entonces $zx = 0 \gt y$ es imposible. Así, $x, y, z \in \{1, \ldots, 8\}$ son enteros positivos distintos.

Las condiciones son simétricas. Para valores distintos $a \lt b \lt c,$ tenemos automáticamente $ac \gt b$ y $bc \gt a$ , así que la única restricción real es $ab \gt c.$ Cuando se cumple, funcionan los $6$ órdenes.

Para cada posible valor mínimo $a,$ los números de pares $a\lt b\lt c\le8$ que satisfacen $ab\gt c$ son $\begin{array}{c|rrrrrr} a&1&2&3&4&5&6\\ \hline \text{conteo}&0&11&10&6&3&1. \end{array}$ Para $a,b$ fijos, este conteo se obtiene eligiendo $c$ entre $b+1$ y $\min(8,ab-1).$ Así, hay $31$ ternas no ordenadas, y funcionan los $6$ órdenes de cada una. La respuesta es $6\cdot31=186.$

Por tanto, la respuesta correcta es C.

If any variable is $0,$ say $z = 0,$ then $zx = 0 \gt y$ is impossible. So $x, y, z \in \{1, \ldots, 8\}$ are distinct positive integers.

The conditions are symmetric. For distinct values $a \lt b \lt c,$ we have $ac \gt b$ and $bc \gt a$ automatically, so the only real constraint is $ab \gt c.$ When it holds, all $6$ orderings work.

For each possible smallest value $a,$ the numbers of pairs $a\lt b\lt c\le8$ satisfying $ab\gt c$ are $\begin{array}{c|rrrrrr} a&1&2&3&4&5&6\\ \hline \text{count}&0&11&10&6&3&1. \end{array}$ For fixed $a,b,$ this count comes from choosing $c$ between $b+1$ and $\min(8,ab-1).$ Thus there are $31$ unordered triples, and all $6$ orderings of each work. The answer is $6\cdot31=186.$

Thus, the correct answer is C.

2025 AMC 12A Problema 18

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años