Question

¿Cuántas ternas ordenadas $(x, y, z)$ de enteros no negativos distintos y menores o iguales que $8$ satisfacen $xy \gt z,$ $zx \gt y,$ y $yz \gt x$ ?

How many ordered triples $(x, y, z)$ of distinct nonnegative integers less than or equal to $8$ satisfy $xy \gt z,$ $zx \gt y,$ and $yz \gt x?$

$36$

$84$

$186$

$336$

$486$

Solución:

Si alguna variable es $0,$ digamos $z = 0,$ entonces $zx = 0 \gt y$ es imposible. Así que $x, y, z \in \{1, \ldots, 8\}$ son enteros positivos distintos.

Las condiciones son simétricas. Para valores distintos $a \lt b \lt c,$ tenemos $ac \gt b$ y $bc \gt a$ automáticamente, así que la única restricción real es $ab \gt c.$ Cuando se cumple, todas las $6$ ordenaciones funcionan.

Contar los subconjuntos de $3$ elementos $\{a, b, c\}$ de $\{1, \ldots, 8\}$ con $ab \gt c$ da $31$ conjuntos. Multiplicando por $6$ ordenaciones resulta $6 \cdot 31 = 186.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If any variable is $0,$ say $z = 0,$ then $zx = 0 \gt y$ is impossible. So $x, y, z \in \{1, \ldots, 8\}$ are distinct positive integers.

The conditions are symmetric. For distinct values $a \lt b \lt c,$ we have $ac \gt b$ and $bc \gt a$ automatically, so the only real constraint is $ab \gt c.$ When it holds, all $6$ orderings work.

Counting $3$ -subsets $\{a, b, c\}$ of $\{1, \ldots, 8\}$ with $ab \gt c$ gives $31$ sets. Multiplying by $6$ orderings yields $6 \cdot 31 = 186.$

Thus, the correct answer is C.

2025 AMC 12A Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años