Question

El triángulo $ABC$ tiene $AB = 27,$ $AC = 26,$ y $BC = 25.$ Sea $I$ la intersección de las bisectrices internas de $\triangle ABC.$ ¿Cuánto vale $BI$ ?

Triangle $ABC$ has $AB = 27,$ $AC = 26,$ and $BC = 25.$ Let $I$ denote the intersection of the internal angle bisectors of $\triangle ABC.$ What is $BI?$

$15$

$5 + \sqrt{26} + 3\sqrt{3}$

$3\sqrt{26}$

$\dfrac{2}{3}\sqrt{546}$

$9\sqrt{3}$

Respuesta: A

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio Fórmula de Herón Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Traza perpendiculares desde $I$ a los lados; el segmento tangente desde $B$ tiene longitud $s - b$

Drop perpendiculars from $I$ to the sides; the tangent segment from $B$ has length $s - b$

Pista grande:

Halla el inradio a partir de área $= rs$ y la fórmula de Herón, luego usa el triángulo rectángulo con catetos $r$ y $BD$

Find the inradius from area $= rs$ and Heron’s formula, then use the right triangle with legs $r$ and $BD$

Solución:

Sea $D$ el pie de la perpendicular desde el incentro $I$ hasta $BC.$ La longitud tangente $BD = s - AC,$ donde $s = \tfrac12(25 + 26 + 27) = 39,$ así que $BD = 39 - 26 = 13.$

Por la fórmula de Herón, el área es $\sqrt{39 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12},$ y el inradio satisface $r^2 = \dfrac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}$ $= \dfrac{14 \cdot 13 \cdot 12}{39}$ $= 56.$

En el triángulo rectángulo $BDI,$ $BI^2 = r^2 + BD^2$ $= 56 + 169$ $= 225,$ así que $BI = 15.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $D$ be the foot of the perpendicular from the incenter $I$ to $BC.$ The tangent length $BD = s - AC,$ where $s = \tfrac12(25 + 26 + 27) = 39,$ so $BD = 39 - 26 = 13.$

By Heron’s formula the area is $\sqrt{39 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12},$ and the inradius satisfies $r^2 = \dfrac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}$ $= \dfrac{14 \cdot 13 \cdot 12}{39}$ $= 56.$

In right triangle $BDI,$ $BI^2 = r^2 + BD^2$ $= 56 + 169$ $= 225,$ so $BI = 15.$

Thus, the correct answer is A.

2012 AMC 12A Problema 18

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años