Question

El dominio de la función $\tiny f(x)=\log_{\frac{1}{2}}\!\left(\log_4\!\left(\log_{\frac{1}{4}}\!\left(\log_{16}\!\left(\log_{\frac{1}{16}}x\right)\right)\right)\right)$ es un intervalo de longitud $\dfrac{m}{n}$ , donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $m+n$ ?

The domain of the function $\tiny f(x)=\log_{\frac{1}{2}}\!\left(\log_4\!\left(\log_{\frac{1}{4}}\!\left(\log_{16}\!\left(\log_{\frac{1}{16}}x\right)\right)\right)\right)$ is an interval of length $\dfrac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m+n?$

$19$

$31$

$271$

$319$

$511$

Respuesta: C

Conceptos:logaritmo desigualdad

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Pela los logaritmos de afuera hacia adentro, exigiendo que cada argumento sea positivo.

Peel the logarithms from the outside in, requiring each argument to be positive

Pista grande:

Recuerda que las bases menores que $1$ invierten las desigualdades; traduce cada condición de positividad sucesiva antes de pasar al siguiente logaritmo interior.

Remember that bases below $1$ reverse inequalities; translate each successive positivity condition before moving to the next inner logarithm

Solución:

Trabajando desde afuera, $f$ está definida exactamente cuando $\log_4\!\left(\log_{\frac{1}{4}}\!\left(\log_{16}\!\left(\log_{\frac{1}{16}}x\right)\right)\right)$ $\gt0,$ lo que equivale a $\log_{\frac{1}{4}}\!\left(\log_{16}\!\left(\log_{\frac{1}{16}}x\right)\right)\gt1.$

Como la base $\tfrac14\lt1,$ esto significa $0\lt\log_{16}\!\left(\log_{\frac{1}{16}}x\right)\lt\tfrac14,$ de donde $1\lt\log_{\frac{1}{16}}x\lt16^{\frac{1}{4}}=2.$

Como $\tfrac{1}{16}\lt1,$ esto se invierte a $\left(\tfrac{1}{16}\right)^2\lt x\lt\left(\tfrac{1}{16}\right)^1,$ es decir $\tfrac{1}{256}\lt x\lt\tfrac{1}{16}.$ La longitud es $\tfrac{1}{16}-\tfrac{1}{256}=\tfrac{15}{256},$ así que $m+n=15+256=271.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Working from the outside, $f$ is defined exactly when $\log_4\!\left(\log_{\frac{1}{4}}\!\left(\log_{16}\!\left(\log_{\frac{1}{16}}x\right)\right)\right)$ $\gt0,$ which is equivalent to $\log_{\frac{1}{4}}\!\left(\log_{16}\!\left(\log_{\frac{1}{16}}x\right)\right)\gt1.$

Since the base $\tfrac14\lt1,$ this means $0\lt\log_{16}\!\left(\log_{\frac{1}{16}}x\right)\lt\tfrac14,$ hence $1\lt\log_{\frac{1}{16}}x\lt16^{\frac{1}{4}}=2.$

As $\tfrac{1}{16}\lt1,$ this reverses to $\left(\tfrac{1}{16}\right)^2\lt x\lt\left(\tfrac{1}{16}\right)^1,$ i.e. $\tfrac{1}{256}\lt x\lt\tfrac{1}{16}.$ The length is $\tfrac{1}{16}-\tfrac{1}{256}=\tfrac{15}{256},$ so $m+n=15+256=271.$

Thus, the correct answer is C.

2014 AMC 12A Problema 18

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años